Bài 103110

Question

Cho $\triangle ABC$ có $3$ góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính $R=1$.Và:
$\frac{\sin A.\sin 2A+\sin B.\sin 2B+\sin C.\sin 2C}{\sin A+\sin B+\sin C}=\frac{2S}{3}$
$S$ là diện tích $\triangle$.Chứng minh rằng : $\triangle ABC$ đều

score 0 · Answer 1

Không giảm tính tổng quát,ta xem $0<A\leq B\leq C<\frac{\pi}{2}$.Suy ra:
$\begin{cases}\sin A\leq \sin B\leq \sin C \\ \sin 2A\geq \sin 2B\geq \sin 2C \end{cases}$
Theo BĐT Trêbưsép:
$\left (\sin A+ \sin B+ \sin C \right )\left (\sin 2A+ \sin 2B+ \sin 2C \right )\geq $
$\geq 3\left ( \sin A.\sin 2A+\sin B.\sin 2B+\sin C.\sin 2C \right )$
$\Leftrightarrow \frac{\sin A.\sin 2A+\sin B.\sin 2B+\sin C.\sin 2C}{\sin A+\sin B+\sin C}\leq \frac{1}{3}\left (\sin 2A+ \sin 2B+ \sin 2C \right )$ $\left ( 1 \right )$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin A= \sin B= \sin C\\\sin 2A= \sin 2B= \sin 2C\end{array} \right.\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều
Mặt khác:
$\sin 2A+ \sin 2B+ \sin 2C =2\sin \left ( A+B \right ).\cos \left ( A-B \right )+ \sin 2C$
$=2\sin C[\cos \left ( A-B \right )+\cos C]=2\sin C[\cos \left ( A-B \right )+\cos \left ( A+B \right )]$
$=2\sin C.2\sin A.\sin B=4\sin A.\sin B.\sin C$
$=\left ( 2R\sin A \right )\left ( 2R\sin B \right )\sin C=a.b.\sin C=2S$ $\left ( 2 \right )$
Thay $\left ( 2 \right )$ vào $\left ( 1 \right )$ ta có:
$\frac{\sin A.\sin 2A+\sin B.\sin 2B+\sin C.\sin 2C}{\sin A+\sin B+\sin C}\leq \frac{2S}{3}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều
Tóm lại: với giả thiết đề bài thì $\triangle ABC$ đều

Bài 103110

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103110

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan