Bài 103098

Question

$1$) Giải phương trình: ${\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 }
\right)^x} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}$
$2$) Giải bất phương trình: ${\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x} \le 2$

score 0 · Answer 1

$1$)    Xét $x = 0$: Ta có : $1 + 1 = 1$ không thỏa mãn
$\begin{array}{l}
x > 0\,\,:\,\,\sqrt 3 + \sqrt 2 > \sqrt 5 \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x} >
{\left( {\sqrt 5 } \right)^x}\\
\Rightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x} > {\left(
{\sqrt 5 } \right)^x}
\end{array}$
Phương trình không thỏa mãn.
$x < 0$ : Ta có ${\left( {\sqrt 5 } \right)^x} < {\left( {\sqrt 5 } \right)^0} = 1$
Do    $0 < \sqrt 3 - \sqrt 2 < 1$
   Nên: $x < 0$$ \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > 1$
   Phương trình không thỏa mãn.
   Vậy phương trình vô nghiệm.
$2$)    Nhận xét: $\sqrt 3 - \sqrt 2 = \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$, đặt $t = {\left( {\sqrt 3
- \sqrt 2 } \right)^x}$
Ta có ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x} = \frac{1}{t}$
Vế trái của bất phương trình trở thành $t + \frac{1}{t}$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có $t + \frac{1}{t} \ge 2$
Theo giả thiết $t + \frac{1}{t} \le 2$
Suy ra $t + \frac{1}{t} = 1 \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) = 1 \Leftrightarrow x = 0$
Chú ý: có thể lập luận: $t + \frac{1}{t} \le 2$
${t^2} - 2t + 1 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow t = 1$

Bài 103098

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103098

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Lý thuyết liên quan