Bài 103024

Question

Cho điểm $A(3;5)$ và đường tròn $(C)$ có phương trình:
$(C):x^2+y^2+2x-4y-4=0$ .
a. Hãy tìm phương trình các tiếp tuyến kẻ từ $A$ đến $(C)$.
b. Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với $(C)$ tại $M,N$. Hãy tính độ dài $MN$.

score 0 · Answer 1

a)
Ta có $(C):(x+1)^2+(y-2)^2=9$
Nên (C) có tâm $I(-1;2); R=3.$
Đường thẳng qua A(3;5) có phương trình
$\Delta:a(x-3)+b(y-5)=0 (a^2+b^2>0)$
$\Delta$ là tiếp tuyến của (C) khi
$d(I;\Delta)=R$
$\Leftrightarrow \frac{|a(-1-3)+b(2-5)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3$
$\Leftrightarrow (4a+3b)^2=9(a^2+b^2)$
$\Leftrightarrow 7a^2+24ab=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=0\\a=-\frac{24}{7}b \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} (\Delta_1):b(y-5)=0\\ (\Delta_2): -\frac{24}{7}b(x-3)+b(y-5)=0 \end{array} \right.$
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn là
$(\Delta_1):y-5=0, (\Delta_2):24x-7y-37=0$.

b)
Đặt $OA\cap MN\equiv K.$
Ta có $AI=\sqrt{(3+1)^2+(5-2)^2}=5.$
Khi đó tam giác AMI vuông tại M có MK là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AMI
$\Rightarrow \frac{1}{MK^2}=\frac{1}{MI^2}+\frac{1}{MA^2}$
$=\frac{1}{R^2}+\frac{1}{IA^2-IM^2}$
$= \frac{1}{R^2}+\frac{1}{5^2-R^2}=\frac{25}{9.16} $
$\Rightarrow MK=\frac{12}{5}$.
Do tam giác IMN cân ở I nên $MN=2MK$
$\Rightarrow MN=\frac{24}{5}$.

Bài 103024

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103024

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan