Bài 102907

Question

Cho phương trình \( x^{2} -\left ( 2 \sin \alpha -1 \right )x+6\sin \alpha^{2}-\sin \alpha-1 =0 \) \( \alpha\) là tham số.
a/ Với nhưng giá trị nào của \( \alpha\) thì phương trình có nghiệm?
b/ Gọi \( x_{1}, x_{2} \) là hai nghiệm của phương trình. TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \( x_{1}^{2} +x_{2}^{2}\)

score 0 · Answer 1

a/ \(
\Delta= \left (2\sin \alpha -1 \right )^{2}-4\left ( \sin^{2} \alpha -\sin\alpha-1\right )
\)
\(=4 \sin^{2} \alpha-4 \sin\alpha+1-24 \sin^{2} \alpha+4\sin\alpha+4\)
\(= 5-20 \sin^{2} \alpha= 5\left( 1-4 \sin^{2} \alpha\right)\)
\(=5[ 1-2\left( 1- \cos2\alpha \right)] = 5\left( 2\cos 2\alpha -a \right) \)
Để phương trình có nghiệm thì \( 2\cos2\alpha -1\geq0\)\(\Leftrightarrow
\cos2\alpha\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{-\pi}{3}+k\pi\leq 2\alpha\leq \frac{\pi}{3}+k\pi
\)
\(
\Leftrightarrow \frac{-\pi}{6}+k\pi\leq \alpha\leq \frac{\pi}{6}+k\pi ( k \in Z)
\)
b/ \(x_{1}+x_{2}= 2\sin\alpha-1\)
\(x_{1}.x_{2}= 6\sin^{2}\alpha -\sin\alpha-1\)
\(
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2}\right )^{2}-2x_{1}x_{2}=\left ( 2\sin\alpha-1 \right )^{2}-2\left ( 6\sin^{2}\alpha -\sin\alpha-1 \right )\)
\(
=4\sin^{2}\alpha-4\sin\alpha+1-12\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha+2=-8\sin^{2}\alpha-2\sin\alpha+3\)
\(
\left ( \frac{-1}{2}\leq\sin\alpha\leq\frac{1}{ 2} \right )
\)
Đặt \( \sin\alpha=t; \frac{-1}{2}\leq t\leq\frac{1}{ 2}\)
Xét hàm số \( y=-8t^{2}-2t+3 \) trên \( [ \frac{-1}{2}; \frac{1}{ 2}] \)
\( y= 16t -2=0\Leftrightarrow t= \frac{-1}{8}\)
\( y_{CĐ}= -8\left(\frac{-1}{8}\right)^{2} -2\left(\frac{-1}{8}\right)+3= \frac{-1}{8}+\frac{2}{8}+3=\frac{25}{8}\)

\(y_{\frac{-1}{2}}= -8\left(\frac{-1}{2}\right)^{2} -2\left(\frac{-1}{2}\right)+3=2\)
\(y_{\frac{1}{2}}= -8\left(\frac{1}{2}\right)^{2} -2\left(\frac{1}{2}\right)+3=0\)
\(
\Rightarrow Max \left( x_{1}^{2} +x_{2}^{2} \right) =\frac{25}{8}; min \left( x_{1}^{2} +x_{2}^{2} \right)=0\)

Bài 102907

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102907

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan