Bài 102694

Question

$1$) $Cho\,\,a,b,c,x,abcd$ dương và khác $1$.
Chứng minh : ${\log _{abcd}}x = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}} +
\frac{1}{{{{\log }_c}x}} + \frac{1}{{{{\log }_d}x}}}}$
$2$)Không dùng bảng số hay máy tính, chứng minh : $2 < {\log _2}3 + {\log _3}2 < \frac{5}{2}$

score 0 · Answer 1

$\begin{array}{l}
1)\,{\log _{abcd}}x = \frac{1}{{{{\log }_x}abcd}} = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b +
{{\log }_x}c + {{\log }_x}d}}\\
= \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}} + \frac{1}{{{{\log }_c}x}} +
\frac{1}{{{{\log }_d}x}}}}
\end{array}$
$2$). Áp dụng bất đẳng thức côsi:
${\log _2}3 + {\log _3}2 > 2\sqrt {{{\log }_2}3.{{\log }_3}2} = 2\sqrt 1 = 2$ dấu bằng không
xảy ra vì ${\log _2}3 \ne {\log _3}2.$
Ta có:${\log _2}3 + {\log _3}2 < \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\log _2}3 + \frac{1}{{{{\log
}_2}3}} - \frac{5}{2} < 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\log _2^23 - 5{\log _2}3 + 2 < 0\\
\Leftrightarrow \left( {2{{\log }_2}3 - 1} \right)\left( {{{\log }_2}3 - 2} \right) <
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)
\end{array}$
Ta có: $2{\log _2}3 > 2{\log _2}2 = 2 > 1 \Rightarrow 2{\log _2}3 - 1 > 0$
${\log _2}3 < {\log _2}4 = 2 \Rightarrow {\log _2}3 - 2 < 0$
Suy ra ($1$) đúng $ \Rightarrow {\log _2}3 + {\log _3}2 < \frac{5}{2}$ vậy : $2 < {\log _2}3 +
{\log _3}2 < \frac{5}{2}$

Bài 102694

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102694

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan