|
|
Giả thiết $x > 0$ nên chia các vế cho số dương $x{.3^x},$ ta có:
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow \,\,\left( {{9^x} - {{4.3}^x} + 1} \right)\frac{1}{{{3^x}}} + \left( {{x^2} + 1}
\right)\frac{1}{x} > 0\\
\Leftrightarrow \left( {{3^x} - 4 + \frac{1}{{{3^x}}}} \right) + \left( {x + \frac{1}{x}}
\right)\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array}$
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có:
${3^x} + \frac{1}{{{3^x}}} > 2\,$ vì ${3^x} = \frac{1}{{{3^x}}} \Leftrightarrow x = 0,$trái với
giả thiết $x > 0$ nên dấu bằng không xảy ra, do đó ${3^x} + \frac{1}{{{3^x}}} > 2$
Với $2$ số x và $\frac{1}{x}$ ta có $1 + \frac{1}{x} \ge 2$ cộng các bất đẳng thức theo vế ta có:
${3^x} + \frac{1}{{{3^x}}} + x + \frac{1}{x} > 4 \Rightarrow \left( {{3^x} - 4 +
\frac{1}{{{3^x}}}} \right) + \left( {x + \frac{1}{x}} \right) > 0$ ($2$) đúng, do đó ($1$) đúng.
|