Bài 102637

Question

Cho

$4$ số thực

$a, b, c, d$ thỏa các điều kiện:

$a^2 + b^2 = 1;c + d = 3$
Chứng minh rằng:

$ac + bd + cd \le \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{4}$

score 0 · Answer 1

Ta có

$c + d = 3 \Leftrightarrow d = 3 - c$
Do đó

$\begin{array}{l} y = ac + bd + cd = ac + b\left( {3 - c} \right) + c\left( {3 - c} \right)\\ \Leftrightarrow y = - {c^2} + \left( {a - b + 3} \right)c + 3b \Rightarrow y \le - \frac{\Delta }{{4a}}\\ \Rightarrow y \le \frac{{ - 12b - {{\left( {a - b + 3} \right)}^2}}}{{ - 4}} = \frac{{12b + {{\left( {a - b + 3} \right)}^2}}}{4} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{12b + {{\left( {a - b} \right)}^2} + 6\left( {a - b} \right) + 9}}{4} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab + 6\left( {a - b} \right) + 9}}{4} \end{array}$
Ta thấy

$\begin{array}{l} 2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - 1 \Rightarrow y \le \frac{{ - {{\left( {a + b} \right)}^2} + 6\left( {a + b} \right) + 11}}{4} \end{array}$
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có:

$\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right).2 = 2 \Rightarrow a + b \le \sqrt 2 \end{array}$
Xét hàm :

$f\left( x \right)$ =

$-X^{2}$ +

$6X$ +

$11$ có

$f\left( x \right)$ đồng biến trên

$(-\infty;\sqrt{2} )$ nên

$f\left( x \right)$

$\leq$

$f\left( \sqrt{2} \right)$

$\forall$ x

$\in$

$(-\infty;\sqrt{2} )$
Do đó:

$y \le \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{4}$

Bài 102637

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102637

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan