Bài 102553

Question

Chứng minh rằng: $|4[a^3-\sqrt{(1-a^2)^3}]-3(a-\sqrt{1-a^2})|\leq 2$

score 0 · Answer 1

Diều kiện: $1-a^2\geq 0\Leftrightarrow |a|\leq 1$.
Đặt $a=\cos \alpha$ với $\alpha\in [0;\Pi].$
Khi đó, bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
      $|4[\cos\alpha^3-\sqrt{(1-\cos^2\alpha)^3}]-3(\cos\alpha-\sqrt{1-\cos^2\alpha})|\leq 2$
       $\Leftrightarrow |4(\cos\alpha^3-\sin^3\alpha)-3(\cos\alpha-\sin\alpha)|\leq \sqrt{2}$
        $\Leftrightarrow |(4\cos\alpha^3-3\cos\alpha)+(-4\sin^3\alpha+3\sin\alpha)|\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow |\cos3\alpha+\sin3
\alpha|\leq \sqrt{2}$
        $\displaystyle \Leftrightarrow |\sqrt{2}\cos(3\alpha-\frac{\Pi}{4})|\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow |\cos(3\alpha-\frac{\Pi}{4})|\leq 1$, luôn đúng.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
     $\displaystyle |\cos(3\alpha-\frac{\Pi}{4})|=1\Leftrightarrow |\sin(3\alpha-\frac{\Pi}{4})|=0\Leftrightarrow 3\alpha-\frac{\Pi}{4}=k\pi, k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}$
Mà $\alpha\in[0,\pi]$ nên $\displaystyle\alpha\in   \left \{ \frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}, \right. \left.\frac{3\pi}{4} \right \}\Leftrightarrow a\in \left \{ \cos\frac{\pi}{12},\cos\frac{5\pi}{12}, \right. \left.\cos\frac{3\pi}{4} \right \}$.

Bài 102553

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102553

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan