|
|
Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của (*).
Chia 2 vế của (*) cho $ {x^2} $, ta có: $ ({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}) + b(x + \frac{1}{x}) + 1 = 0 $
Đặt $ t = x + \frac{1}{x};|t| \ge 2 $ , ta có : $ {t^2} + bt - 1 = 0 $ $ \left( 1 \right) $
(1) luôn có 2 nghiệm $ {t_1},{t_2}\, $ trái dấu.
Giả sử $ {t_1} < 0 < {t_2}: $ $ {t_1} = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} + 4} }}{2};{t_2} = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} + 4} }}{2} $
Xem 2 phương trình sau:
$ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{x} = {t_1} \Leftrightarrow {x^2} - {t_{^1}}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
x + \frac{1}{x} = {t_2} \Leftrightarrow {x^2} - {t_2}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)
\end{array} $
Với $ {t_2} > 0 $: nếu (3) có nghiệm thì cả hai nghiệm của (3) đều dương (vì $ P = \frac{c}{a} = 1 > 0,S = - \frac{b}{a} = {t_2} > 0 $ )
Với $ {t_1} > 0 $: nếu (2) có nghiệm thì cả 2 nghiệm của (2) đều âm ( $ P = 1 > 0,S = {t_1} < 0) $
Điều kiện để (*) có không ít hơn 2 nghiệm âm là phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow |{t_1}| \ge 2 \Rightarrow {t_1} \le 2\\
{t_1} < 0
\Leftrightarrow \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} + 4} }}{2} \le - 2\Leftrightarrow
\sqrt {{b^2} + 4} \ge 4 - b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\\
\Leftrightarrow 4 - b \le 0 \vee \left\{ \begin{array}{l}
4 - b > 0\\
{b^2} + 4 > {b^2} - 8b + 16
\end{array} \right.
\Leftrightarrow b \ge 4 \vee \left\{ \begin{array}{l}
b < 4\\
b > \frac{3}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow b \ge 4 \vee \frac{3}{2} < b < 4 \Leftrightarrow b > \frac{3}{2}
\end{array} $
Vậy $ b > \frac{3}{2} $
|