Bài 102491

Question

Cho phương trình: $ x^4 + 4x^3 + (m + 4)x^2 + 2mx + 2m = 0 $
a Giải phương trình khi $m=-1$.
b. Giải và biện luận theo $m$.

score 0 · Answer 1

Phương trình đã cho có thể viết:
$ \begin{array}{l}
{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} + m({x^2} + 2x) + 2m = 0 \Leftrightarrow {({x^2} + 2x)^2} + m({x^2} + 2x) + 2m = 0
\end{array} $
Đặt $ {x^2} + 2x = t, $ với $ t \ge - 1,$ ta có: $ f(t) = {t^2} + mt + 2m = 0 $
a. Khi m=-1
Ta có: $ \begin{array}{l}
{t^2} - t - 2 = 0
\Leftrightarrow t = - 1;t = 2
\end{array} $ thỏa mãn.
Với t=-1, ta có: $ {x^2} + 2x = - 1 \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = - 1 $
Với t=2, ta có: $ {x^2} + 2x = 2 \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 3 $
Do đó khi m=-1, phương trình đã cho có 3 nghiệm là : $ x = - 1;x = - 1 + \sqrt 3 ;x = - 1 - \sqrt 3 $

b. Ta có: $ \Delta = {m^2} - 8m $
Khi $ 0 < m < 8 \Leftrightarrow \Delta < 0;f(t) = 0 $
Vô nghiệm trên R $ \Rightarrow $ phương trình đã cho vô nghiệm.
Khi m=0 $ \Rightarrow \Delta = 0;f(t) = 0 $ có nghiệm t=0 $ \Rightarrow x = 0 \vee x = - 2 $
Khi m=8 $ \Leftrightarrow \Delta = 0;f(t) = 0 $ có nghiệm t=-4
$ \Rightarrow $ phương trình đã cho vô nghiệm
Khi m<0 m>8 $ \Leftrightarrow \Delta > 0;f(t) = 0 $ có 2 nghiệm $ {t_1};{t_2} $ .
Giả sử $ {t_1} < {t_2} $ $ \begin{array}{l}
{t_1} = \frac{{ - m - \sqrt {{m^2} - 8m} }}{2};{t_2} = \frac{{ - m + \sqrt {{m^2} - 8m} }}{2};
f( - 1) = 1 + m.
\end{array} $
Với $ m < - 1 \Rightarrow {t_1} < - 1 < {t_2}: $ có 2 nghiệm
Với $ m = - 1 \Rightarrow {t_1} = - 1 < {t_2}: $ có 3 nghiệm
Với $ - 1 < m < 0 \Rightarrow - 1 < {t_1} < {t_2}: $ có 4 nghiệm
Với $ m > 8: $ vô nghiệm.

Bài 102491

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102491

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan