Đặt $a_1=a-n, b_1=b-n, c_1=c-n$
Suy ra $a_1,b_1,c_1\in [-1,1]$ và:
$a_1+b_1+c_1=a+b+c-3n=0$
Ta có: $a^2+b^2+c^2=(a_1+n)^2+(b_1+n)^2+(c_1+n)^2$
$=3n^2+2n(a_1+b_1+c_1)+(a_1^2+b_1^2+c_1^2)$
$=3n^2+(a_1^2+b_1^2+c_1^2) . (1)$
Nhận xét rằng: $(a_1b_1)(b_1c_1)(c_1a_1)=(a_1b_1c_1)^2\geq 0$
nên trong ba số $(a_1b_1), (b_1c_1),(c_1a_1)$ phải có một số không âm, giả sử là $a_1b_1\geq 0$
Khi đó: $2\geq 2c_1^2=c_1^2+(-c_1)^2=c_1^2+(a_1+b_1)^2$
$ = a_1^2+b_1^2+c_1^2+2a_1b_1\geq a_1^2+b_1^2+c_1^2 . (2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra: $ a_1^2+b_1^2+c_1^2\leq 3n^2+2$.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{cases}c_1^2=1 \\ a_1b_1=0 \end{cases}\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}c_1=1 , a_1=0\\ c_1=1 , b_1=0 \\c_1=-1 , a_1=0 \\ c_1=-1 , b_1=0\end{array} \right.\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{l}c=n+1 , a=n, b=n-1\\ c=n+1, b=n, a=n-1 \\c=n-1, a=n, b=n+1 \\ c=n-1, b=n, a=n+1\end{array} \right.$
Vậy, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong số $a,b,c$ một số bằng $n-1$, một số bằng $n$, một số bằng $n+1$