Bài 102395

Question

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc $Oxy$ cho elip: $(E):\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
Và hai đường thẳng $(D)$: $ax - by = 0;(D'):bx + ay = 0$ với ${a^2} + {b^2} > 0$
Gọi $M, N$ là các giao điểm của $(D)$ và $(E): P, Q$ là các giao điểm của $(D’)$ với $(E)$
$1$. Tính diện tích tứ giác $MNPQ$ theo $a$ và $b$
$2$. Tìm điều kiện đối với $a, b$ để diện tích tứ giác $MNPQ$ nhỏ nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 5:44:05 PM

$1$. Nhận thấy $2$ bán trục của elip là $3$ và $2$. Ngoài ra $2$ đường thẳng $(D)$ và $(D’)$ vuông góc với nhau, và $2$ đoạn thằng $MN,PQ$ nhận $O$ làm trung điểm.
Nếu $(D)$ và $(D’)$ trùng với $2$ trục tọa độ thì ${S_{MNPQ}} = 12$
Nếu $(D)$ và $(D’)$ không trùng với các trục tọa độ, thì với $a \ne 0,b \ne 0$
Ta có phương trình $(D)$: $y = \frac{a}{b}x\,\,\,\left( 1 \right)$
Phương trình $(D’)$ : $y = -\frac{b}{a}x\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Phương trình (elip): $ \Leftrightarrow 4{x^2} + 9{y^2} = 36\,\,\,\,\left( 3 \right)$
*) Tính $MN$: Thay $(1)$ vào $(3)$ ta được $4{x^2} + \frac{{9{a^2}{x^2}}}{{{b^2}}} = 36 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{36{b^2}}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$, từ đó ta có: ${y^2} = \frac{{{a^2}{x^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{36{a^2}}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$
Ta có $O{M^2} = {x^2} + {y^2} \Rightarrow M{N^2} =4O{M^2}= 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \frac{{144\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$
*) Tính $PQ$: thay $(2)$ vào $(3)$ ta được $4{x^2} + \frac{{9{b^2}{x^2}}}{{{a^2}}} = 36 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{36{a^2}}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$,từ đó ${y^2} = \frac{{36{b^2}}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$
Ta có $P{Q^2} = \frac{{144\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{9{a^2} + 4{b^2}}}$
Khi đó ${S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MN.PQ = \frac{{72\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{\sqrt {\left( {9{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right)} }}$ (đvdt)

$2$. Áp dụng bất đẳng thức côsi ta được $\sqrt {\left( {9{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right)} \le \frac{1}{2}\left( {9{a^2} + 4{b^2} + 4{a^2} + 9{b^2}} \right) = \frac{{13}}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$
Do đó ${S_{MNPQ}} \ge \frac{{144}}{{13}} \Rightarrow {\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{S}}_{MNPQ}} = \frac{{144}}{{13}}$ đạt được khi và chỉ khi ${a^2} = {b^2}$

Bài 102395

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102395

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan