Bài 102355

Question

Biết rằng $a, b, c$ là độ dài các cạnh của một tam giác, $p$ là nửa chu vi, chứng minh rằng:
$\sqrt p < \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 4:39:21 PM

Vì $p - a,p - b,p - c > 0;\,\,p - a + p - b + p - c = p$ nên $\begin{array}{l}
\left( {p - a} \right) + \left( {p - b} \right) + \left( {p - c} \right) + 2\sqrt {\left( {p - a} \right).\left( {p - b} \right)}\\ + 2\sqrt {\left( {p - a} \right).\left( {p - c} \right)} + 2\sqrt {\left( {p - c} \right).\left( {p - b} \right)} > p + 0\\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} } \right)^2} > {\left( {\sqrt p } \right)^2} \Leftrightarrow \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} > \sqrt p
\end{array}$
Mặt khác:
$\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} } \right)^2} \le 3\left( {p - a + p - b + p - c} \right) = 3p\\
\Rightarrow \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p}
\end{array}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow p - a = p - b = p - c \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta $đều

Môt cách đơn giản hơn là đặt $p-a=x, p-b=y, p-c=z$.
Như vậy, $x,y,z>0$. Ta biểu diễn BĐT về $x,y,z$ rồi áp dụng Côsi là được.

Bài 102355

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102355

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan