Bài 102292

Question

Cho phương trình bậc 2: $ f(x) = ax^2 + bx + c = 0 $. Trong đó $ a,b,c \ne 0 $ và thỏa hệ thức $ 2a + 3b + 6c = 0 $ (*)
1. Tính $ a,b,c $ theo $ f(0),f (\frac{1}{2}), f(1)$. Chứng tỏ $ f(0),f (\frac{1}{2}), f(1)$ không cùng dấu.
2. Chứng minh rằng phương trình (*) có một nghiệm $ {x_0} \in (0;1)$

score 0 · Answer 1

1.
Ta có : $ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = c\\
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4} + \frac{b}{2} + c\\
f\left( 1 \right) = a + b + c
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2f\left( 1 \right) + 2f\left( 0 \right) - f\left( {\frac{1}{2}} \right)\\
4f\left( {\frac{1}{2}} \right) - f(1) - 3f(0)\\
c = f(0)
\end{array} \right.\\\Rightarrow 2a + 3b + 6c = f\left( 1 \right) + 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( 0 \right)
\end{array} $
Do đó : (*) $ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) + 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) + f\left( 0 \right) = 0 $ (**)
Nếu $ f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ cùng dấu thì vế trái của (**) sẽ luôn luôn dương hoặc luôn luôn âm,suy ra (**) không thỏa.
Vậy $ f\left( 0 \right),f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ không cùng dấu.

2.
Ta suy ra $ f\left( 0 \right) $ trái dấu với một trong hai biểu thức $ f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ .
+ Nếu $ f\left( {\frac{1}{2}} \right),f\left( 1 \right) $ trái dấu $ \Leftrightarrow f\left( {\frac{1}{2}} \right).f\left( 1 \right) < 0 $ $ \Rightarrow $ phương trình $ f\left( x \right) = 0 $ có nghiệm $ {x_o} \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow {x_o} \in \left( {0;1} \right) $
+ Nếu $ f\left( 0 \right),f\left( 1 \right) $ trái dấu $ \Leftrightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 $ $ \Rightarrow $ phương trình có nghiệm $ {x_1} \in \left( {0;1} \right) $
Vậy phương trình luôn luôn có một nghiệm thuộc khoảng (0;1) nếu: $ 2a + 3b + 6c = 0 $

Bài 102292

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102292

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan