Bài 102284

Question

Giả sử phương trình $ mx^2 + px + q = 0 $ (1) có 2 nghiệm dương $ x_1;x_2 $
1. Chứng minh rằng phương trình $ qx^2 + px + m = 0 $ (2) cũng có 2 nghiệm dương $ x_3;x_4 $ .
2. Chứng tỏ rằng : $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \ge 4 $

score 0 · Answer 1

1. Điều kiện để (1) có 2 nghiệm dương là : $ \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{\Delta _1} \ge 0\\
\frac{q}{m} > 0\\
- \frac{p}{m} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
q \ne 0\\
{\Delta _2} \ge 0\\
\frac{m}{q} > 0(*)\\
- \frac{p}{q} = \frac{{ - p/m}}{{q/m}} > 0
\end{array} \right. $
Hệ (*) chứng tỏ (2) có 2 nghiệm dương.

2. Áp dụng đẳng thức Cauchy, ta có : $ {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} \ge 2\sqrt {{x_1}{x_2}} + 2\sqrt {{x_3}{x_4}} = 2\left( {\sqrt {\frac{q}{m}} + \sqrt {\frac{m}{q}} } \right) \ge 4 $
Vậy : $ {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} \ge 4 $

Bài 102284

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102284

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan