|
|
Xét cách làm sau đây:
Ta có : $ x + \frac{1}{x} = \frac{{{x^2} + 1}}{x} $
Vì $ (x + \frac{1}{x}) $ nguyên nên $ {x^2} + 1 \vdots x $
Mà $ {x^2} \vdots x \Rightarrow 1 \vdots x $
Do đó : $ x = 1 \vee x = - 1 $
Với $ x = 1 \Rightarrow {x^n} + \frac{1}{{{x^n}}} = 2 $ nguyên
Với $ x = - 1, $ ta có : $ {x^n} + \frac{1}{{{x^n}}} = - 2 $
Vậy : nếu $ (x + \frac{1}{x}) $ nguyên thì $ {x^n} + \frac{1}{{{x^n}}} $ nguyên
Thật là một điều sai lầm rất lớn vì đề bài không cho x nguyên. Do đó không thể sử dụng phép chia hết đê giải quyết bài toán đã cho được :
Ta dung phương pháp quy nạp thứ 2.
Đặt : $ {S_n} = {x^n} + \frac{1}{{{x^n}}} $
Nếu $ n < 0 \Leftrightarrow n = - m,m > 0 $ , ta có :
$ \begin{array}{l}
{S_n} = {x^{ - m}} + \frac{1}{{{x^{ - m}}}} = \frac{1}{{{x^m}}} + {x^m}\\
m > 0\\
\end{array} $
Do đó ta chỉ cần Chứng minh $ {S_n} \in Z,\forall n \in N $
Khi n = 0 , ta có : $ {S_0} = 2 $ ,nguyên .
Khi n = 1 , ta có : $ {S_1} = x + \frac{1}{x} $ , nguyên ( giả thiết )
Giả sử $ {S_{k - 1}} $ và $ {S_k} $ nguyên
Ta Chứng minh $ {S_{k + 1}} $ nguyên
Ta có : $ {S_k}.{S_1} = {S_{k + 1}} + {S_{k - 1}} $
Vì $ {S_1},{S_{k + 1}},{S_k} $ nguyên nên $ {S_{k + 1}} $ nguyên ,từ đó giả thiết quy nạp là đúng, suy ra đpcm
|