Bài 102137

Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

$n$ ta có:

$(1+\frac{1}{n})^n<3 (1)$

score 0 · Answer 1

Bất đẳng thức

$(1)$ đúng với

$n=1, n=2$ bởi vì:

$(1+\frac{1}{1})^1=2<3,(1+\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}<3$ .
Vậy ta xét

$n\geq 3$ , và chứng minh rằng : với mọi số nguyên dương

$k$ thoả mãn điều kiện

$1\leq k\leq n$ , ta có:

$(1+\frac{1}{n})^k<1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{n^2} (2)$
Khi đó, với

$k=n$ , thì

$(2)$ trở thành

$(1)$ .

Đẻ chứng minh

$(2)$ , ta sử dụng phép quy nạp "hạn chế", tức là cố định

$n(n\geq 3)$ , và xét các số nguyên dương

$k$ , với

$1\leq k\leq n$

Với

$k=1$ thì

$(2)$ trở thành :

$1+\frac{1}{n}<1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$ đúng.
Giả sử

$(2)$ đúng với

$k (1\leq k\leq n-1)$ , ta chứng minh

$(2)$ đúng với

$k+1$ .
Ta có:

$(1+\frac{1}{n})^{k+1}=(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})^k<(1+\frac{1}{n})(1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{n^2})=1+\frac{k+1}{n}+\frac{k^2+k}{n^2}+\frac{k^2}{n^3}$ .
Như vậy để chứng tỏ

$(2)$ đúng với

$k+1$ , ta chỉ cần chứng tỏ :

$\frac{k^2+k}{n^2}+\frac{k^2}{n^3}<\frac{(k+1)^2}{n^2}\Leftrightarrow nk^2+nk+k^2<n(k^2+2k+1)\Leftrightarrow k^2<n(k+1)$ .
Bất đẳng thức này đúng vì

$k\leq n-1.$

Bài 102137

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102137

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan