|
|
Áp dụng định lý hàm số cosin suy rộng,ta có
$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}$
Vì thế từ giả thiết suy ra :
${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}} (1)$
Áp dụng định lý hàm số sin và sử dụng công thức $S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C$,thì
$(1) \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{{4{R^2}({{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C)}}{{8{R^2}\sin A\sin B\sin C}}$
$ \Leftrightarrow \sin A\sin B\sin C = \frac{1}{2} (2)$
Chỉ có $3$ khả năng sau xảy ra
$1/$ Nếu $A = {90^0}$,thì theo quy ước $tanA=+\infty $ và như vậy rõ ràng lúc này $tanA > \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
$2/$ Nếu $A<90^{^0}$.Vì $0 < \sin B\sin C < 1 \Rightarrow \sin A > \frac{1}{2}$,kết hợp với $A < {90^0}$,suy ra :
${30^0} < A < {90^0}
\Rightarrow tanA > \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
$3/$ Nếu $A > {90^0}$,ta có $\sin B\sin C = \frac{1}{2}\left[ {c{\rm{os}}(B - C) - c{\rm{os}}(B + C)} \right] \le \frac{1}{2}(1 + \cos A)$
Từ $\sin A\sin B\sin C = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin A(1 + \cos A) \ge 1$
$ \Rightarrow \sin 2A + \sin A \ge 2 (*)$
Do ${180^0} > A > {90^0} \Rightarrow \sin 2A < 0$,vậy từ $(*)$ có $sinA>1$
Điều này vô lý chứng tỏ không tồn tại $A > {90^0}$
Kết hợp lại ta luôn có $tanA > \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Nhận xét :
$1/$ Qua cách giải bài toán trên,ta nhận thấy thức chất ta đã giải được bài toán sau:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức : ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \cot A + \cot B + \cot C$
CMR $\left\{ \begin{array}{l}
m{\rm{ax}}(A,B,C) \le {90^0}\\
\min (A,B,C) > {30^0}
\end{array} \right.$
Điều này thấy được do vai trò tương đương của $A,B,C$
$2/$ Lớp các tam giác ABC thỏa mãn ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \cot A + \cot B + \cot C$ là khác rỗng. Thật vậy,xét tam giác $ABC$ có $A = {90^0},B = C = {45^0}$
Khi đó ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \cot A + \cot B + \cot C(=2)$
Với tam giác này có $tanA = + \infty $ theo quy ước
$3/$ Liệu có tồn tại tam giác không vuông mà thỏa mãn hệ thức ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \cot A + \cot B + \cot C$ hay không ?
Câu trả lời dành cho bạn đọc
|