Bài 102069

Question

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn : $sinA+sinC=2sinB$
               $1/$ CMR: $tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$
               $2/$ CMR: $\cos A + \cos C \le 1$
               $3/$ CMR: ${b^2} \ge 6rR$

score 0 · Answer 1

$1/$       $\sin A + \sin C = 2\sin B$
      $\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\sin \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} = 4\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}\\
\Rightarrow c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} = 2\cos \frac{{A + C}}{2}\\
\Rightarrow c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} + \sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} = 2\cos \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} - 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\\
\Rightarrow c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} = 3\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}
\end{array}$
     $ \Rightarrow tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2} = \frac{1}{3}                                         (1)$
Theo bất đẳng thức Cosi ,ta có
              $tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2} \le \frac{1}{4}{(tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2})^2}       (2)$
Từ $(1)(2)$ suy ra ${(tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2})^2} \ge \frac{4}{3}$ và do $tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2} > 0$ nên :
               $tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow dpcm$
Dấu $“=”$ xảy ra khi $ABC$ là tam giác đều
$2/$ Từ
$\sin A + \sin C = 2\sin B \Rightarrow a + c = 2b \Rightarrow p = \frac{{3b}}{2}$
Ta có      $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2} = \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{2} = \frac{{{{(a + c)}^2} - {b^2}}}{{4ac}} = \frac{{p(p - b)}}{{ac}}$
Vì $p = \frac{{3b}}{2} \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2} = \frac{{3{b^2}}}{{4ac}}$
Do đó $\cos B = 2{\cos ^2}B - 1 = \frac{{4{b^2}}}{{4ac}} - 1 \Rightarrow \cos B \ge \frac{{6{b^2}}}{{{{(a + c)}^2}}} - 1 = \frac{1}{2}$
Theo bất đẳng thức cơ bản : $\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$, nên cùng với $\cos B \ge \frac{1}{2}$ suy ra $\cos A + \cos C \le 1$
Dấu $“=”$ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều
$3/$ Áp dụng công thức $R = \frac{{abc}}{{4S}},r = \frac{S}{p}$ ta có:
                         $\begin{array}{l}
{b^2} \ge 6rR\\
\Leftrightarrow {b^2} \ge 6\frac{{abc}}{{4S}}\frac{S}{p}\\
\Leftrightarrow {b^2} \ge \frac{{3ac}}{{2p}}(1)
\end{array}$
Vì $sinA+sinC=2sinB \Rightarrow a+c=2b$
Do đó $(1)$ tương đương              $\frac{{a + c}}{2} \ge \frac{{3ac}}{{a + c + \frac{{a + c}}{2}}}$
                                               $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{a + c}}{2} \ge \frac{{2ac}}{{a + c}}\\
\Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac\\
\Leftrightarrow {(a - c)^2} \ge 0(2)
\end{array}$
Vì $(2)$ đúng nên $(1)$ đúng, ta có (đpcm)
Dấu $“=”$ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều
Nhận xét            ${b^2} \ge 6rR$
                      $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{R^2}{\sin ^2}B \ge 6R.4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\\
\Leftrightarrow 4{\sin ^2}\frac{B}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2} \ge 6\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\\
\Leftrightarrow 2\sin \frac{B}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2} \ge 3\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}
\end{array}$
                    $ \Leftrightarrow \frac{{\sin B}}{{c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}}} \ge \frac{{3tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}                        (*)$
Vì $a+c=2b$ nên $tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2} = \frac{1}{3}$
Vì thế (*) có dạng   $\sin B \ge \frac{{c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}               (3)$
Do đó bài toán có thể ra là: Với điều kiện đã cho, chứng minh bất đẳng thức $(3)$

Bài 102069

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102069

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan