Bài 102069

Question

Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn :

$sinA+sinC=2sinB$

$1/$ CMR:

$tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$

$2/$ CMR:

$\cos A + \cos C \le 1$

$3/$ CMR:

${b^2} \ge 6rR$

score 0 · Answer 1

$1/$

$\sin A + \sin C = 2\sin B$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\sin \frac{{A + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} = 4\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{B}{2}\\ \Rightarrow c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2} = 2\cos \frac{{A + C}}{2}\\ \Rightarrow c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} + \sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} = 2\cos \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} - 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\\ \Rightarrow c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2} = 3\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} \end{array}$

$\Rightarrow tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2} = \frac{1}{3} (1)$
Theo bất đẳng thức Cosi ,ta có

$tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2} \le \frac{1}{4}{(tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2})^2} (2)$
Từ

$(1)(2)$ suy ra

${(tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2})^2} \ge \frac{4}{3}$ và do

$tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2} > 0$ nên :

$tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow dpcm$
Dấu

$“=”$ xảy ra khi

$ABC$ là tam giác đều

$2/$ Từ

$\sin A + \sin C = 2\sin B \Rightarrow a + c = 2b \Rightarrow p = \frac{{3b}}{2}$
Ta có

$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2} = \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{2} = \frac{{{{(a + c)}^2} - {b^2}}}{{4ac}} = \frac{{p(p - b)}}{{ac}}$
Vì

$p = \frac{{3b}}{2} \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2} = \frac{{3{b^2}}}{{4ac}}$
Do đó

$\cos B = 2{\cos ^2}B - 1 = \frac{{4{b^2}}}{{4ac}} - 1 \Rightarrow \cos B \ge \frac{{6{b^2}}}{{{{(a + c)}^2}}} - 1 = \frac{1}{2}$
Theo bất đẳng thức cơ bản :

$\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$ , nên cùng với

$\cos B \ge \frac{1}{2}$ suy ra

$\cos A + \cos C \le 1$
Dấu

$“=”$ xảy ra khi tam giác

$ABC$ đều

$3/$ Áp dụng công thức

$R = \frac{{abc}}{{4S}},r = \frac{S}{p}$ ta có:

$\begin{array}{l} {b^2} \ge 6rR\\ \Leftrightarrow {b^2} \ge 6\frac{{abc}}{{4S}}\frac{S}{p}\\ \Leftrightarrow {b^2} \ge \frac{{3ac}}{{2p}}(1) \end{array}$
Vì

$sinA+sinC=2sinB \Rightarrow a+c=2b$
Do đó

$(1)$ tương đương

$\frac{{a + c}}{2} \ge \frac{{3ac}}{{a + c + \frac{{a + c}}{2}}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{a + c}}{2} \ge \frac{{2ac}}{{a + c}}\\ \Leftrightarrow {(a + c)^2} \ge 4ac\\ \Leftrightarrow {(a - c)^2} \ge 0(2) \end{array}$
Vì

$(2)$ đúng nên

$(1)$ đúng, ta có (đpcm)
Dấu

$“=”$ xảy ra khi tam giác

$ABC$ đều
Nhận xét

${b^2} \ge 6rR$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{R^2}{\sin ^2}B \ge 6R.4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\frac{B}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2} \ge 6\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin \frac{B}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2} \ge 3\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow \frac{{\sin B}}{{c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}}} \ge \frac{{3tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} (*)$
Vì

$a+c=2b$ nên

$tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2} = \frac{1}{3}$
Vì thế (*) có dạng

$\sin B \ge \frac{{c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}} (3)$
Do đó bài toán có thể ra là: Với điều kiện đã cho, chứng minh bất đẳng thức

$(3)$

Bài 102069

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102069

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan