Bài 101906

Question

Giải và biện luận các phương trình sau:
a)

$|mx+3|=|-x+m|$
b)

$|2x+m-1|=||x|+m|$

score 0 · Answer 1

Giải
a) Xét phương trình:

$|mx+3|=|-x+m|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx+3 = -x+m (1)\\mx+3=-(-x+m) (2)\end{array} \right.$
*

$(1)\Leftrightarrow (m+1)x=m-3$
- Với

$m\neq -1$ thì

$(1)$ có nghiệm là

$x_1=\frac{m-3}{m+1}$
- Với

$m=-1$ thì

$(1)$ trở thành

$0x=-4$ ( vô nghiệm )
*

$(2)\Leftrightarrow (m-1)x=m-3$
- Với Với

$m\neq 1$ thì

$(2)$ có nghiệm là

$x_2=\frac{-m-3}{m-1}$
- Với

$m=1$ thì

$(2)$ trở thành

$0x=-4$ ( vô nghiệm )
Nhận xét rằng :

$x_1=x_2\Leftrightarrow \frac{m-3}{m+1}=\frac{-m-3}{m-1}$

$\Leftrightarrow(m+3)(m-1)=(-m-3)(m+1)$
hay

$m^2-4m+3=-m^2-4m-3$

$\Leftrightarrow2(m^2+3)=0$ : vô nghiệm
Vậy với mọi

$m\neq \pm1$ thì

$x_1\neq x_2$
Kết luận:
*

$m\neq1$ và

$m\neq-1$ :
Phương trình có hai nghiệm

$x=\frac{m-3}{m+1}$ và

$x=\frac{-m-3}{m-1}$
*

$m=1$ : Phương trình có 1 nghiệm

$x=-1$
*

$m=-1$ :Phương trình có 1 nghiệm

$x=1$ .
b) Với phương trình:

$|2x+m-1|=||x|+m|$ ta xét 2 trường hợp:
*

$x\geq0$ : ta có

$|2x+m-1|=||x|+m|$

$\Leftrightarrow|2x+m-1|=||x|+m|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x+m-1=x+m (1)\\2x+m-1=-x-m (2) \end{array} \right.$
Ta có:

$(1)\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn điều kiện

$x\geq0$ ) và

$(2)\Leftrightarrow x=\frac{1-2m}{3}$
Do điều kiện

$x\geq0$ nên

$\frac{1-2m}{3}\geq0\Leftrightarrow1-2m\geq0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{2}$
* Nếu

$x<0$ thì ta có :

$|2x+m-1|=||x|+m|$

$\Leftrightarrow |2x+m-1|=|-x+m|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x+m-1=-x+m (3)\\2x+m-1=-x-m (4)\end{array} \right.$
Ta có:

$(3)\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}>0$ (loại);

$(4)\Leftrightarrow x=1-2m$ do điều kiện

$x<0$ nên

$1-2m<0\Leftrightarrow m>\frac{1}{2}$ . Vậy
*

$m\leq \frac{1}{2}$ thì phương trình có 2 nghiệm

$x=1$ và

$x=\frac{1-2m}{3}$
*

$m> \frac{1}{2}$ thì phương trình có 2 nghiệm

$x=1$ và

$x=1-2m$
Nhận xét: Đối với các phương trình chứa giá trị tuyệt đối có dạng:

$|A|=|B|$ như trong bài này thì ta áp dụng tính chất:

$|A|=|B|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A=B\\A=-B\end{array} \right.$

Bài 101906

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101906

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan