Bài 101813

Question

Gọi $A,B$ lần lượt là số nhỏ nhất, và số lớn nhất , trong $n$ số dương $x_1,x_2,...,x_n(n\geq 2)$. Chứng minh rằng: $A<\frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{x_1+2x_2+...+nx_n}<2B$

score 0 · Answer 1

Đặt:
$C=x_1(x_1+\ldots+x_n)+x_2(x_2+\ldots+x_n)+\ldots+x_{n-1}(x_{n-1}+\ldots+x_n)+x_n^2$
     $=(x_1^2+...+x_n^2)+(x_1x_2+x_1x_3+...+x_1x_n+x_2x_3+...+x_2x_n+...+x_{n-1}x_{n})

$
Thì: $C<(x_1^2+...+x_n^2)+2(x_1x_2+x_1x_3+...+x_1x_n+x_2x_3+...+x_2x_n+...+x_{n-1}x_{n})$
                           $=(x_1+x_2+...+x_n)^2<2C. (1)$
Vì A là số nhỏ nhất trong các số $x_1,x_2...x_n$ nên:
$A(x_1+2x_2+...+nx_n)=A(x_1+x_2+...+x_n)+A(x_2+...+x_n)+...+$
$+A(x_{n-1}+...+x_n)+Ax_n$
$\leq x_1(x_1+x_2+...+x_n)+x_2(x_2+...+x_n)+$
$+...+x_{n-1}(x_{n-1}+...+x_n)+x_n^2$$=C.       (2)$
Vì B là số lớn nhất trong các số $x_1,x_2,...,x_n$ nên :
$B(x_1+2x_2+...+nx_n)=B(x_1+x_2+...+x_n)+B(x_2+...+x_n)+...+$
$+B(x_{n-1}+...+x_n)+Bx_n$
$\geq x_1(x_1+x_2+...+x_n)+x_2(x_2+...+x_n)+$
$+...+x_{n-1}(x_{n-1}+...+x_n)+x_n^2$$=C.       (3)$
Từ $(1),(2)$ và $(3)$ ta có: $A<\frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{x_1+2x_2+...+nx_n}<2B$.

Bài 101813

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101813

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan