Bài 101490

Question

Cho các phương trình:
$$x^2+bx+c=0 (1)$$
$$x^2+cx+b=0 (2)$$
trong đó $b,c$ là hai số thực thỏa mãn hệ thức $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$.

Chứng minh rằng có ít nhất một phương trình có nghiệm.

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Biệt thức của các phương trình $(1)$ và $(2)$ theo thứ tự là:
$$\Delta_1=b^2-4c, \Delta_2=c^2-4b$$
Suy ra: $\Delta_1+\Delta_2=b^2+c^2-4(b+c)$

Giả sử $\Delta_1<0, \Delta_2<0$ thì $\Delta_1+\Delta_2=b^2+c^2-4(b+c)<0$.
$$\Rightarrow b^2+c^2=4(b+c) (*)$$
Từ hệ thức: $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2(b+c)=bc$

Thay vào bất đẳng thức $(*)$ ta có: $b^2+c^2<2bc\Rightarrow (b-c)^2<2bc$ vô lý.

Vậy có ít nhất một biệt thức không âm. Do đó có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.

Bài 101490

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101490

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan