Bài 101488

Question

Cho hai phương trình

$x^{2}+x-m=0 (1)$ và

$x^{2}-mx+1=0 (2)$ .
a) Tìm

$m$ để phương trình có nghiệm chung.
b) Tìm

$m$ để hai phương trình tương tương.

score 0 · Answer 1

Giải
a) Ta có:
Phương trình

$(1)$ và

$(2)$ có nghiệm chung

$\Leftrightarrow$ hệ

$\begin{cases}x^{2}+x-m=0 \\ x^{2}-mx+1=0 \end{cases}$ có nghiệm

$\Leftrightarrow$ hệ

$\begin{cases}x+y=m \\ -mx+y=-1 \end{cases} (3)$ có nghiệm thỏa mãn;

$y=x^{2}$ .
Hệ

$(3)$ có

$D = \left| \begin{array}{l} \,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\\ - m\,\,\,1 \end{array} \right| = 1 + m$

$Dx = \left| \begin{array}{l} m\,\,\,\,\,\,\,\,1\\ - 1\,\,\,\,\,\,\,1 \end{array} \right| = m + 1$

$Dy = \left| \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,m\\ - m\,\,\,\, - 1 \end{array} \right| = {m^2} - 1$
- Nếu

$D\neq 0$ hay

$m\neq -1$ , thì hệ

$(3)$ có nghiệm duy nhất

$\begin{cases}x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{m+1}{m+1}=1 \\ y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{m^{2}-1}{m+1}=m-1 \end{cases}$
Khi đó:

$y=x^{2}\Leftrightarrow m-1=1\Leftrightarrow m=2$ .
- Nếu

$D=0$ hay

$m=-1$ , thì các phương trình

$(1)$ và

$(2)$ đều vô nghiệm. Giá trị

$m=-1$ bị loại.
Vậy với

$m=2$ thì phương trình

$(1)$ và

$(2)$ có chung nghiệm.
b) Với

$m=2$ thì

$(1)$ trở thành

$x^{2}+x-2=0$ và có tập nghiệm

$S_{1}=\left \{ 1;2\left. \right \} \right.$

$; (2)$ trở thành

$x^{2}-2x+1=0$ và có tập nghiệm

$S_{2}=\left \{ 1\left.\right \} \right.\neq S_{1}$ .
Khi đó

$S_{2}\neq S_{1}$ . Vậy với

$m=2$ ( tức là khi hai phương trình có nghiệm chung) thì hai phương trình không tương đương.
Do đó để hai phương trình tương đương thì

$(1)$ và

$(2)$ phải cùng vô nghiệm, tức là:

$\begin{cases}\\\Delta_{1}= 1+4m<0 \\ \Delta_{2}= m^{2}-4<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m<-\frac{1}{4} \\ -2<m<2 \end{cases}\Leftrightarrow -2<m<-\frac{1}{4}$ .

Bài 101488

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101488

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan