Bài 100904

Question

Dãy số ${u_{1}},u_{2},...,u_{n}$ được xác định như sau:
$
u_{n}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}
$ với $n=1,2,...,k $
Đặt $S={u_{1}}+u_{2}+...+u_{k}.$Chứng minh rằng $18<\frac{1}{S}\leq 24$

score 0 · Answer 1

Dễ thấy rằng $u_{n}>0 $ với $=1,2,3... $ nên với $k\geq 1$ thì:
$S\geq {u_{1}}=\frac{1}{24}\Rightarrow \frac{1}{S}\leq 24.(1)$
Với bất kì $n\geq 1$, ta có:
$u_{n}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{3}. \frac{3}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$
$$
=\frac{1}{3}(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)})
$$
Từ đó: $3S= u_{1}+u_{2}+...+u_{k}$
$$
=(\frac{1}{1.2.3}-\frac{1}{2.3.4})+(\frac{1}{2.3.4}-\frac{1}{3.4.5})+...$$
$$+(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)})
$$
$$=\frac{1}{6}-\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}<\frac{1}{6}\Rightarrow S<\frac{1}{18}\Leftrightarrow \frac{1}{S}>18.(2)$$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $18<\frac{1}{S}\leq 24$.

Bài 100904

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100904

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan