Bài 100887

Question

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ $Oxy$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích bằng $12$, tâm $I$ là giao điểm của đường thẳng $ d_1 :x - y - 3 = 0 $ và $d_2:x + y - 6 = 0 $. Trung điểm của một cạnh là giao điểm của $d_1$ với trục $Ox$. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

score 0 · Answer 1

Ta có: $ {d_1} \cap {d_2} = I $ .
Toạ độ của I là nghiệm của hệ: $ \left\{ \begin{array}{l}
x - y - 3 = 0\\
x + y - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 9/2\\
y = 3/2
\end{array} \right. $ . Vậy $ I\left( {\frac{9}{2};\frac{3}{2}} \right) $
Do vai trò A, B, C, D như nhau nên giả sử M là trung điểm cạnh AD $ \Rightarrow M = {d_1} \cap Ox \Rightarrow M( 3; 0)$
Ta có: $ AB = 2IM = 2\sqrt {{{\left( {3 - \frac{9}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 $
Theo giả thiết: $ {S_{ABCD}} = AB.AD = 12 \Leftrightarrow AD = \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB}} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 $
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 $ \Rightarrow {d_1} \bot AD $
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận $\overrightarrow{MI}\uparrow\uparrow \overrightarrow n= (1;1) $ làm VTPT nên có PT: $ 1(x - 3) + 1(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0 $ . Lại có: $ MA = MD = \sqrt 2 $
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT: $ \left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt 2
\end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - x + 3\\
{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - x + 3\\
{\left( {x - 3} \right)^2} + {(3 - x)^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3 - x\\
x - 3 = \pm 1
\end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = - 1
\end{array} \right. $ . Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
Do $ I\left( {\frac{9}{2};\frac{3}{2}} \right) $ là trung điểm của AC suy ra: $ \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = 2{x_I} - {x_A} = 9 - 2 = 7\\
{y_C} = 2{y_I} - {y_A} = 3 - 1 = 2
\end{array} \right. $
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)

Bài 100887

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100887

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan