Bài 100880

Question

Cho hai đường tròn $\begin{array}{l}
\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\\
\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} - 10x - 6y + 30 = 0
\end{array}$
Có tâm lần lượt là $I$ và $J$
$1$. Chứng minh $\left( {{C_1}} \right)$ tiếp xúc ngoài với$\left( {{C_2}} \right)$ và tìm tọa độ tiếp điểm H
$2$. Gọi $(D)$ là một tiếp tuyến chung không đi qua $H$ của $\left( {{C_1}} \right)$ và$\left( {{C_2}} \right)$. Tìm tọa đọ giao điểm $K$ của $(D)$ và đường thẳng $IJ$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua $K$ và tiếp xúc với hai đường tròn tại $H$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 10:11:26 AM

$\left( {{C_1}} \right)$ có tâm $I\left( {2, - 1} \right)$ và bán kính ${R_1} = 3$; $\left( {{C_2}} \right)$ có tâm $J\left( {5,3} \right)$ và bán kính ${R_2} = 2$

$1$. Ta có $IJ^2={\left( {5 - 2} \right)^2} + {\left( {3 + 1} \right)^2} = 25 \Rightarrow {\rm{IJ}} = 5 = {R_1} + {R^2} $
$\Rightarrow \left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$ tiếp xúc ngoài với nhau. Tọa độ tiếp điểm $H$ được xác định bởi $\frac{{\overrightarrow {HI} }}{{\overrightarrow {HJ} }} = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {HI} = - 3\overrightarrow {HJ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {{x_I} - {x_H}} \right) = - 3\left( {{x_J} - {x_H}} \right)\\
2\left( {{y_I} - {y_H}} \right) = - 3\left( {{y_J} - {y_H}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_H} = \frac{{19}}{5}\\
{y_H} = \frac{7}{5}
\end{array} \right.$

$2$. Ta có:
$\frac{{\overrightarrow {KJ} }}{{\overrightarrow {KI} }} = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {KI} = - 3\overrightarrow {KJ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {{x_I} - {x_K}} \right) = - 3\left( {{x_J} - {x_K}} \right)\\
2\left( {{y_I} - {y_K}} \right) = - 3\left( {{y_J} - {y_K}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_K} = 11\\
{y_K} = 11
\end{array} \right.$
Đường tròn $(C)$ qua $K$, tiếp xúc với $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$ tại $H$ nên tâm $E$ của $(C)$ là trung điểm $KH$: $E\left( {\frac{{37}}{5},\frac{{31}}{5}} \right)$
Bán kính $(C)$ là $EH = 6$
Phương trình $(C)$ là${\left( {x - \frac{{37}}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{31}}{5}} \right)^2} = 36$

Bài 100880

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100880

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan