Bài 100752

Question

Chứng minh rằng với mọi $x \ge 0$ và với mọi $\alpha > 1$ta luôn có ${x^a} + \alpha - 1 \ge \alpha x$. Từ đó chứng minh rằng với $3$ số dương $a, b, c$ bất kì thì: $\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}}} + \sqrt {\frac{{{b^3}}}{{{c^3}}}} + \sqrt {\frac{{{c^3}}}{{{a^3}}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/24/2012 5:38:10 PM

Xét $f\left( x \right) = {x^\alpha } - \alpha x + \alpha - 1\left( {x \ge 0} \right)$.
Ta có: $f'\left( x \right) = \alpha \left( {{x^{\alpha - 1}} - 1} \right);f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Ta có bảng biến thiên:

Vậy $\forall x \ge 0,\alpha > 1 \Rightarrow f\left( x \right) \ge 0$ hay ${x^\alpha } + \alpha - 1 \ge \alpha x$ $(*)$

* Bất đẳng thức cần chứng minh:${\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{3}{2}}} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^{\frac{3}{2}}} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^{\frac{3}{2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$
Áp dụng bất đẳng thức $(*)$ với $\alpha = \frac{3}{2}$ ta có:
${\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \ge \frac{3}{2}\left( {\frac{a}{b}} \right)$
${\left( {\frac{b}{c}} \right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \ge \frac{3}{2}\left( {\frac{b}{c}} \right)$
${\left( {\frac{c}{a}} \right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \ge \frac{3}{2}\left( {\frac{c}{a}} \right)$
Lại có: $\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{3}{2}}} + {{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^{\frac{3}{2}}} + {{\left( {\frac{c}{a}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right] \ge \frac{3}{2}$
Cộng vế với vế của $4$ bất đẳng thức trên ta được: $\frac{3}{2}\left[ {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{3}{2}}} + {{\left( {\frac{b}{c}} \right)}^{\frac{3}{2}}} + {{\left( {\frac{c}{a}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right] + \frac{3}{2} \ge \frac{3}{2}\left[ {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right] + \frac{3}{2}$
$ \Rightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{3}{2}}} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^{\frac{3}{2}}} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^{\frac{3}{2}}} \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ (đpcm)

Bài 100752

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100752

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan