Bài 100601

Question

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M(3;1)$. Viết phương trình đường thẳng qua $M$ và cắt $2$ trục tọa độ $Ox, Oy$ tương ứng tại $A$ và $B$ sao cho $OA+OB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

Giả sử $ A\left( {a;0} \right)\,,\,\,B\left( {0;b} \right) $ là giao điểm của đường thẳng cần tìm với 2 trục tọa độ, suy ra phương trình đoạn chắn AB là (cũng chính là phương trình đường thẳng cần tìm):
$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $ . Do M(3;1) thuộc đường thẳng này nên: $ \frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1 $

Ta có:
$ \begin{array}{l}
OA + OB = \left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right| = \left| {\left( {a + b} \right)\left( {\frac{3}{a} + \frac{1}{b}} \right)} \right| \ge {(\sqrt 3 + 1)^2}\\
\Rightarrow min(OA + OB) = {(\sqrt 3 + 1)^2} \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{a^2}}}{3} = {b^2}\\
ab \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow a = b\sqrt 3 \Rightarrow b = 1 + \sqrt 3 \Rightarrow a = 3 + \sqrt 3
\end{array} $
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $ \frac{x}{{3 + \sqrt 3 }} + \frac{y}{{1 + \sqrt 3 }} = 1 $

Bài 100601

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100601

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan