Bài 100483

Question

$1)$ Chứng minh nếu $a,\,b > 0$ và $a + b = c$ thì ${a^{2/3}} + {b^{2/3}} > {c^{2/3}}$
$2)$ Chứng minh với mọi số $n$ nguyên dương ta có:
${\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} < {\left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)^{2n}}$
$3)$ Chứng minh với mọi số nguyên $n > 2$ ta có: ${(n!)^2} > {n^n}$

score 0 · Answer 1

$1)$ Từ $\frac{{a + b}}{c} = 1 \Rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1$ và $0 < \frac{b}{c} < 1$
$\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{a}{c}} \right)^{2/3}} > \frac{a}{c}\\
{\left( {\frac{b}{c}} \right)^{2/3}} > \frac{b}{c}
\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {\frac{a}{c}} \right)^{2/3}} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^{2/3}} > 1 \Rightarrow {a^{2/3}} + {b^{2/3}} > {c^{2/3}}$(đpcm)
$2)$ Ta có:
$\begin{array}{l}
1 + \frac{1}{n} < 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{4{n^2}}} = {\left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)^2}\\
\Rightarrow {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} < {\left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)^{2n}}(do 1+\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{2n}>1)
\end{array}$
$3)$ Ta có với $n > k > 1 \Rightarrow n\left( {k - 1} \right) > k\left( {k - 1} \right) \Rightarrow k\left( {n - k + 1} \right) > n\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Ta có $1.n = n$
$2.\left( {n - 1} \right) > n$(với $n > 2$)
$\begin{array}{l}
3.\left( {n - 2} \right) > n\\
............\\
\left( {n - 1} \right).2 > n\\
n.1 = n
\end{array}$
Nhân theo vế ta có $n!.n! > {n^n}$ vậy ${\left( {n!} \right)^2} > {n^n}$(đpcm)

Bài 100483

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100483

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan