Bài 100434

Question

Chứng minh rằng với mọi số thực

$a, b, c$ ta luôn có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/23/2012 3:43:43 PM

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1( mang tính minh hoạ), như sau:
Cách1 : Ta biến đổi bất đẳng thức như sau

$a^2 +b^2+c^2-(ab+bc+ca)\geq 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow (\frac{a^2}{2}-ab+\frac{b^2}{2})+(\frac{b^2}{2}-bc+\frac{c^2}{2})+(\frac{c^2}{2}-ca+\frac{a^2}{2})\geq 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow (\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{b}{\sqrt{2}})^{2}+ (\frac{b}{\sqrt{2}}-\frac{c}{\sqrt{2}})^{2}+ (\frac{c}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}})^{2}\geq 0$ , luôn đúng và
dấu đẳng thức xảy ra khi:

$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}= \frac{b}{\sqrt{2}}= \frac{c}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow a=b=c.$
Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow (a^{2}+b^2 -2ab)+ (b^{2}+c^2 -2bc)+ (a^{2}+c^2 -2ac)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\ge 0$ , luôn đúng và dấu đẳng thức xảy ra khi

$a=b=c$

Cách 3: Ta luôn có:

$\begin{cases}(a-b)^{2}\geq 0 \\(b-c)^{2}\geq 0 \\ (c-a)^{2}\geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a^2+b^2-2ab\geq 0 \\ b^2+c^2-2bc\geq 0 \\c^2+a^2-2ac\geq 0\end{cases} (1)$
Cộng theo vế các bất đẳng thức trong hệ

$(1)$ , ta được :

$2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ , Suy ra đpcm và dấu đẳng thức xảy ra khi

$a=b=c$ .
Cách 4: Ta luôn có:

$\displaystyle VT= \frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2)$ =

$\left[ {({a^2} + {b^2}) + ({b^2} + {c^2}) + ({c^2} + {a^2})} \right]$ ,

$\geq \frac{1}{2}(2ab+2bc+2ca)=ab+bc+ca$ Suy ra (đpcm) và dấu đẳng thức xảy ra khi

$a=b=c$ .

Bài 100434

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100434

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan