Bài 100456

Question

Cho $a > 0;\,\,b > 0;\,\,\,x > y > 0$ Chứng minh rằng: ${\left( {{a^x} + {b^x}} \right)^y} < {\left( {{a^y} + {b^y}} \right)^x}\,\,\,\,(1)$

score 0 · Answer 1

$(1) \Leftrightarrow {a^{xy}}{\left[ {1 + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^x}} \right]^y} < {a^{xy}}{\left[ {1 + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^y}} \right]^x}$
Rút gọn $2$ vế và nâng lũy thừa với số mũ $\frac{1}{{xy}}$
Ta có: $(1) \Leftrightarrow {\left[ {1 + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^x}} \right]^{\frac{1}{x}}} < {\left[ {1 + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^y}} \right]^{\frac{1}{y}}}\,\,\,\,(2)$
Đặt $\alpha = \frac{b}{a} > 0,\,$
Ta chứng minh: ${\left( {1 + {\alpha ^x}} \right)^{\frac{1}{x}}} < {\left( {1 + {a^y}} \right)^{\frac{1}{y}}}$
Xét hàm số $y = f(x) = {\left( {1 + {\alpha ^x}} \right)^{\frac{1}{x}}},\,\,x > 0$ ta có
$\begin{array}{l}
\ln y = \frac{1}{x}\ln \left( {1 + {a^x}} \right) \Rightarrow \frac{{{y^,}}}{y} = \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\ln \left( {1 + {\alpha ^x}} \right) + \frac{1}{x}.\frac{{\left( {1 + {\alpha ^x}} \right)}}{{1 + {\alpha ^x}}}\\
\frac{{{y^,}}}{y} = \frac{{{\alpha ^x}\ln {\alpha ^x} - \left( {1 + {\alpha ^x}} \right)\ln \left( {1 + {\alpha ^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + {\alpha ^x}} \right)}}
\end{array}$
Do $0 < {a^x} < 1 + {\alpha ^x}$ nên hiển nhiên ${\alpha ^x}\ln {\alpha ^x} < \left( {1 + {\alpha ^x}} \right)\ln \left( {1 + {a^x}} \right)$
Suy ra ${y^,} < 0$ và $y = f(x)$ nghịch biến và do đó $x > y \Rightarrow f(x) < f(y)$
Vậy $(1$) đúng, suy ra đpcm.

Bài 100456

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100456

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan