Bài 100425

Question

Cho hàm số $y = \frac{2x - 3}{x - 2}$ .Cho $M$ là điểm bất kì trên $(C)$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt các đường tiệm cận của $(C)$ tại $A$ và $B$. Gọi $I$ là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAB$ có diện tích nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

Ta có: $ M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}}} \right),\quad {x_0} \ne 2 $ , $ y'({x_0}) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} $
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng: $ \Delta :y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}(x - {x_0}) + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}} $
Toạ độ giao điểm A, B của $ \left( \Delta \right) $ và hai tiệm cận là: $ A\left( {2;\frac{{2{x_0} - 2}}{{{x_0} - 2}}} \right);\quad B\left( {2{x_0} - 2;2} \right) $
Ta thấy $ \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{2 + 2{x_0} - 2}}{2} = {x_0} = {x_M} $ , $ \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}} = {y_M} $ suy ra M là trung điểm của AB.
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
S = $ \pi I{M^2} = \pi \left[ {{{({x_0} - 2)}^2} + {{\left( {\frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}} - 2} \right)}^2}} \right] = \pi \left[ {{{({x_0} - 2)}^2} + \frac{1}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}} \right] \ge 2\pi $
Dấu “=” xảy ra khi $ {({x_0} - 2)^2} = \frac{1}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{x_0} = 3
\end{array} \right. $
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)

Bài 100425

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100425

1 Đáp án

Liên quan

Bài toán tiếp tuyến liên quan đến hệ số góc

Lý thuyết liên quan