Bài toán về Dãy số - Chứng minh quy nạp - Cấp số cộng.

1. Cho $(U_n)$ được xác định: $\left\{ \begin{array}{l}U_1=1\\U_{n+1}=U_n+\left(n+1\right)2^n \end{array} \right.$ a) Chứng minh: $(U_n)$ là dãy tăng b) Chứng minh: $U_n=1+\left(n-1\right)2^n$2. Cho $(U_n)$ biết $U_n=\sin\left(4n-1\right)\dfrac{\pi}{6}$ a) Chứng minh: $U_n=n+3$ b) Tính: $S=U_1+U_2+...+U_{15}$3. Cho $(U_n)$ xác định: $\left\{ \begin{array}{l} U_1=0\\U_{n+1}=\dfrac{1}{2}U_n+4 \end{array} \right.$ a) Chứng minh: $U_n<8$ b) Chứng minh: $(U_n)$ là dãy tăng.

Dãy số

Phương pháp quy nạp toán học

Bài toán về Dãy số - Chứng minh quy nạp - Cấp số cộng.

1. Cho $(U_n)$ được xác định: $\left\{ \begin{array}{l}U_1=1\\U_{n+1}=U_n+\left(n+1\right)2^n \end{array} \right.$ a) Chứng minh: $(U_n)$ là dãy tăng b) Chứng minh: $U_n=1+\left(n-1\right)2^n$2. Cho $(U_n)$ biết $U_n=\sin\left(4n-1\right)\dfrac{\pi}{6}$ a) Chứng minh: $U_n=U{n+3}$b) Tính:$S=U_1+U_2+...+U_{15}$3. Cho$(U_n)$xác định:$\left\{ $$\begin{array}{l} U_1=0\\U_{n+1}=\dfrac{1}{2}U_n+4 \end{array}$$ \right.$a) Chứng minh:$U_n<8$b) Chứng minh:$(U_n)$ là dãy tăng.

Dãy số

Phương pháp quy nạp toán học

Phương trình lượng giác.

$\fbox{1.}$ Tìm các nghiệm của phương trình: $$\sin x\cos4x-\sin^22x=4\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{7}{2}$$ thỏa mãn điều kiện: $\left|x-1\right|<3.$$\fbox{2.}$ Giải các phương trình: $a)\,\dfrac{3\left(\cos2x+\cot2x\right)}{\cot2x-\cos2x}-2\sin2x=2\\b)\,4\cos^2x+3\tan^2x-4\sqrt{3}\cos x+2\sqrt{3}\tan x+4=0\\c)\,\dfrac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin2x}=\dfrac{1}{2}\left(\tan x+\cot x\right)$

Các dạng phương trình...

Phương trình lượng giác.

$\fbox{1.Tìm các nghiệm của phương trình:}$ $$\sin x\cos4x-\sin^22x=4\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{7}{2}$$ thỏa mãn điều kiện: $\left|x-1\right|<3.$$\fbox{2.}$ Giải các phương trình $a)\,\dfrac{3\left(\cos2x+\cot2x\right)}{\cot2x-\cos2x}-2\sin2x=2\\b)\,4\cos^2x+3\tan^2x-4\sqrt{3}\cos x+2\sqrt{3}\tan x+4=0\\c)\,\dfrac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin2x}=\dfrac{1}{2}\left(\tan x+\cot x\right)$

Các dạng phương trình...

Bất đẳng thức.

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq1$$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức.

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\leq1$$

Bất đẳng thức

Phương trình mũ.

Giải phương trình: $2^x+1=x^2$

Phương trình mũ

Phương trình mũ.

$\fbox{Giải phương trình}$ $$2^x+1=x^2$$

Phương trình mũ

Một số bài toán Ôn tập về Tổ hợp - Xác suất.

1. Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của người thứ nhất là 0,85 và của người thứ hai là 0,7. Tính xác suât để: a) Có đúng một viên đạn trúng đích. b) Cả hai viên đạn đều trúng đích. c) Có ít nhất một viên đạn trúng đích. d) Không có viên đạn nào được bắn trúng đích.2. Từ các chữ số $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$ có thể lập được: a) Bao nhiêu số chẵn có ba chữ số. b) Bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau.3. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau chia hết cho $10.$4. Có bao nhiêu số nguyên từ $1000$ đến $9999$ mà các chữ số của nó tăng dần từ trái sang phải.?5. Có bao nhiêu cách xếp $3$ học sinh nam và $3$ học sinh nữ vào $6$ ghế kê thành hàng ngang sao cho $3$ học sinh nam ngồi liền nhau.6. Một tổ có $12$ học sinh gồm $7$ nữ và $5$ nam. Thầy chủ nhiệm muốn chọn ra $5$ học sinh tham gia ngoại khóa. Hỏi có bao nhiêu cách: a) Chon $3$ học sinh nữ và $2$ học sinh nam. b) Có ít nhất một học sinh nam.

Xác suất

Tổ hợp

Một số bài toán Ôn tập về Tổ hợp.

1. Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của người thứ nhất là 0,85 và của người thứ hai là 0,7. Tính xác suât để: a) Có đúng một viên đạn trúng đích. b) Cả hai viên đạn đều trúng đích. c) Có ít nhất một viên đạn trúng đích. d) Không có viên đạn nào được bắn trúng đích.2. Từ các chữ số $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$ có thể lập được: a) Bao nhiêu số chẵn có ba chữ số. b) Bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau.3. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau chia hết cho $10.$4. Có bao nhiêu số nguyên từ $1000$ đến $9999$ mà các chữ số của nó tăng dần từ trái sang phải.?5. Có bao nhiêu cách xếp $3$ học sinh nam và $3$ học sinh nữ vào $6$ ghế kê thành hàng ngang sao cho $3$ học sinh nam ngồi liền nhau.6. Một tổ có $12$ học sinh gồm $7$ nữ và $5$ nam. Thầy chủ nhiệm muốn chọn ra $5$ học sinh tham gia ngoại khóa. Hỏi có bao nhiêu cách: a) Chon $3$ học sinh nữ và $2$ học sinh nam. b) Có ít nhất một học sinh nam.

Tổ hợp

Bài toán về quan hệ song song với hai hình vuông.

Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ có tâm $O$ và $O'$ không cùng nằm trong một mặt phẳng, $I$ và $K$ là trung điểm $OD$ và $O'E$. a) Chứng minh $OO'//DF//CE$. b) Trìm trong mặt phẳng $(CDE)$ đường thẳng song song $IK$.

Hình học không gian

Bài toán về quan hệ song song với hai hình vuông.

Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ có tâm $O$ và $O'$ không cùng nằm trong một mặt phẳng, $I$ và $K$ là trung điểm $OD$ và $O'E$. a) Chứng minh $OO'//DF//CE$. b) Tìm trong mặt phẳng $(CDE)$ đường thẳng song song $IK$.

Hình học không gian

Hỏi về cách phân tích thành nhân tử của một bài toán.

Các anh giúp em rõ là tại sao phương trình này có người lại phân tích thành nhân tử được như thế này ạ. Em không hiểu ạ, chỉ rõ giúp em với.$$6\sin x\cos^2x\cos^22x+\sin^3x=0\Leftrightarrow \sin x\left(3\cos2x+1\right)\left(2\cos2x+1\right)=0$$

Các dạng phương trình...

Hỏi về cách phân tích thành nhân tử của một bài toán.

Các anh giúp em rõ là tại sao phương trình này có người lại phân tích thành nhân tử được như thế này ạ. Em không hiểu ạ, chỉ rõ giúp em với.Đề bài: Giải phương trình: $3\sin4x=\left(\cos2x-1\right)\tan x$ĐK:$x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$. PT đã cho tương đương với:$6\sin 2x\cos 2x=-2\sin^2x.\frac{\sin x}{\cos x}.$$\Rightarrow 6\sin x\cos ^2x\cos 2x+\sin ^3x=0$.$\Leftrightarrow \sin x(3\cos 2x+1)(2\cos 2x+1)=0$.Nếu$\sin x=0$thì$x=k\pi,k\in Z$.Nếu$3\cos 2x+1=0$thì$x=\pm \frac{\alpha}{2}+k\pi,k\in Z$ trong đó $\alpha \in (0,\pi)$thỏa mãn$\cos \alpha =\frac{-1}{3}$.Nếu$2\cos 2x+1=0$ thì $x=\pm \frac{\pi}{3}+k\pi,k\in Z$.

Các dạng phương trình...

Biến cố và xác suất của biến cố.

1. Gieo một đồng tiền ba lần. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định biến cố: A: " Lần đầu xuất hiện mắt sấp" ; B: " Mặt sấp xảy ra đúng một lần" ; C: " Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần" .2. Gieo một con súc sắc hai lần. a) Mô tả không gian mẫu. b) Phát biểu các biến cố sau đây dưới dạng mệnh đề: $A=\{(6,1), (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\\B=\{(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)\}\\C=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$3. Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số$1,\,2,\,3,\,4$. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định biến cố: A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn" ; B: "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn".4. Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu$A_k$là biến cố: "Người thứ$k$bắn trúng",$k=1,\,2$. a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố$A_1,\,A_2$: A: "Không ai bắn trúng" ; B: "Cả hai đều bắn trúng" ; C: "Có đúng một người bắn trúng" ; D: "Có ít nhất một người bắn trúng" . b) Chứng tỏ rằng$A=\bar{D}$;$B$và$C$xung khắc.5. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn$50.$a) Mô tả không gian mẫu. b) Gọi$A$là biến cố "số được chọn là số nguyên tố". Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho$A$. c) Tính xác suất của$A.$d) Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn$4$.6. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Số nút ở mặt xuất hện là số chẵn b) Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho$3$c) Xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn$3$7. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Mặt sấp xuất hiện hai lần. b) Mặt sấp xuất hiện đúng một lần. c) Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần.

Biến cố

Xác suất của biến cố

Biến cố và xác suất của biến cố.

1. Gieo một đồng tiền ba lần. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định biến cố: A: " Lần đầu xuất hiện mắt sấp" ; B: " Mặt sấp xảy ra đúng một lần" ; C: " Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần" .2. Gieo một con súc sắc hai lần. a) Mô tả không gian mẫu. b) Phát biểu các biến cố sau đây dưới dạng mệnh đề: $A=\{(6,1), (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\\B=\{(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)\}\\C=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$3. Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số $1,\,2,\,3,\,4$. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định biến cố: A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn" ; B: "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn".4. Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu $A_k$ là biến cố: "Người thứ $k$ bắn trúng", $k=1,\,2$. a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố $A_1,\,A_2$: A: "Không ai bắn trúng" ; B: "Cả hai đều bắn trúng" ; C: "Có đúng một người bắn trúng" ; D: "Có ít nhất một người bắn trúng" . b) Chứng tỏ rằng $A=\bar{D}$; $B$ và $C$ xung khắc.5. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn $50.$ a) Mô tả không gian mẫu. b) Gọi $A$ là biến cố "số được chọn là số nguyên tố". Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho $A$. c) Tính xác suất của $A.$ d) Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn $4$.6. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Số nút ở mặt xuất hện là số chẵn b) Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho $3$ c) Xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn $3$7. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Mặt sấp xuất hiện hai lần. b) Mặt sấp xuất hiện đúng một lần. c) Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần.

Biến cố

Xác suất của biến cố

Bài toán về xác suất(I).

Một tổ học sinh có $7$ nữ và $5$ nam. Chọn ngẫu nhiên ra $3$ học sinh. Tính xác suất để có ít nhất $1$ học sinh nam.

Quy tắc tính xác suất

Bài toán về xác suất(I).

Một tổ học sinh có $7$ nữ và $5$ nam. Chọn ngẫu nhiên ra $3$ học sinh. Tính xác suất để có ít nhất $1$ học sinh nam.

Quy tắc tính xác suất

Xác suất.

Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Giả sử con xúc xắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình: $x^2+bx+2=0.$ Tính xác suất sao cho:a) Phương trình có nghiệm.b) Phương trình vô nghiệm.c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Xác suất

Xác suất của biến cố

Xác suất.

Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Giả sử con xúc xắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình: $x^2+bx+2=0.$ Tính xác suất sao cho:a) Phương trình có nghiệm.b) Phương trình vô nghiệm.c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Xác suất

Xác suất của biến cố

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$+Nhận thấy $x+y=0$ không thoả mãn hệ phương trình+Xét $x+y\neq 0$- Lấy $(2)-(1)$ ta có $(x+y).4.(\sqrt{x}+\sqrt{y})=4\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{1}{x+y} (*)$- Lấy $(2)+(1)$ ta có $(x+y)(6xy-4\sqrt{x}+4\sqrt{y})=0\Leftrightarrow 4\sqrt{x}-4\sqrt{y}=6xy\Leftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{y}=\dfrac{3xy}{2}(**)$- Lấy $(*)\times (**)$ ta có: $x-y=\dfrac{3xy}{2(x+y)}\Leftrightarrow 2x^2-2y^2-3xy=0\Leftrightarrow (x-2y)(2x+y)=0 \Leftrightarrow x=2y$ Loại trường hợp $2x+y=0$ do xét $x+y\neq 0$ và điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$+$x=2y$ thay vào $(**)$ ta có $4\sqrt{2y}-4\sqrt{y}=12y^{2}\Leftrightarrow 3y^2=\sqrt{y}(\sqrt{2}-1)\Leftrightarrow 9y^4=y(3-2\sqrt{2})\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0\\ y=\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}} \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=2\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}} \end{bmatrix}$Vậy:$(x;y)= $$\begin{pmatrix} 2\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}};\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}} \end{pmatrix}$$ $ là nghiệm duy nhất.

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$$\bullet$ Nhận thấy $x+y=0$ không thoả mãn hệ phương trình$\bullet$ Xét $x+y\neq 0$- Lấy $(2)-(1)$ ta có $(x+y).4.(\sqrt{x}+\sqrt{y})=4\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{1}{x+y} (*)$- Lấy $(2)+(1)$ ta có $(x+y)(6xy-4\sqrt{x}+4\sqrt{y})=0\Leftrightarrow 4\sqrt{x}-4\sqrt{y}=6xy\Leftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{y}=\dfrac{3xy}{2}(**)$- Lấy $(*)\times (**)$ ta có: $x-y=\dfrac{3xy}{2(x+y)}\Leftrightarrow 2x^2-2y^2-3xy=0\Leftrightarrow (x-2y)(2x+y)=0 \Leftrightarrow x=2y$ Loại trường hợp $2x+y=0$ do xét $x+y\neq 0$ và điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$$\bullet$ $x=2y$ thay vào $(**)$ ta có $4\sqrt{2y}-4\sqrt{y}=12y^{2}\Leftrightarrow 3y^2=\sqrt{y}(\sqrt{2}-1)\Leftrightarrow 9y^4=y(3-2\sqrt{2})\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} y=0\\ y=\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}} \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} x=0\\ x=2\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}} \end{array}\right.$Vậy:$(x;y)= $$\begin{pmatrix} 2\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}};\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}} \end{pmatrix}$$ $ là nghiệm duy nhất.

Tìm số chứa x trong khai triển.

Tìm số hạng chứa $x$ trong khai triển: $$1+2\left(1+x\right)+3\left(1+x\right)^2+...+100\left(1+x\right)^{99}$$

Nhị thức Niu-tơn

Tìm số chứa x trong khai triển.

Tìm số hạng chứa $x$ trong khai triển: $$1+2\left(1+x\right)+3\left(1+x\right)^2+...+100\left(1+x\right)^{99}$$

Nhị thức Niu-tơn

Giải và biện luận phương trình: $\left|x+1\right|+m\left|x-1\right|=\left(m+1\right)\left(3x+7\left|mx+5\right|\right)$

Giải và biện luận phương trình: $$\left|x+1\right|+m\left|x-1\right|=\left(m+1\right)\left(3x+7\left|mx+5\right|\right)$$

Giải và biện luận phương...

Phương trình chứa dấu...

Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình trị tuyệt đối.

Giải và biện luận phương trình: $$\left|x+1\right|+m\left|x-1\right|=\left(m+1\right)\left(3x+7\left|mx+5\right|\right)$$

Giải và biện luận phương...

Phương trình chứa dấu...

Phương trình bậc nhất một ẩn

Bài toán về hình chóp với thiết diện.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O;\,M,\,N,\,P\in AB,\,BC,\,SO.$ Hãy dựng thiết diện của $(MNP)$ với hình chóp.[img]http://nr3.upanh.com/b5.s30.d1/07ad409760d3713be48151d05fbefd4a_49773953.capture.png[/img]

Hình chóp

Bài toán về hình chóp với thiết diện.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O;\,M,\,N,\,P\in AB,\,BC,\,SO.$ Hãy dựng thiết diện của $(MNP)$ với hình chóp.

Hình chóp