Bài 113219

Question

Cho nguyên số $n> 0$.
Đặt $I_n=\int\limits_{0}^{1} \frac{e^{-2nx}dx}{e^{2x}+1} $
a)Tính $I_0$
b)Tính $(I_{n+1}+I_n)$ theo $n$

score 0 · Answer 1

a)$I_0=\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{e^{2x}+1}=\int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{e^{2x}(1+e^{-2x})}=\int\limits_{0}^{1}\frac{e^{-2x}dx}{1+e^{-2x}}     $
Đặt : $u=e^{-2x}+1 \Rightarrow du=-2e^{-2x}dx$
Đổi cận : $\left\{ \begin{array}{l} x=1 \Rightarrow u=e^{-2}+1\\ x=0 \Rightarrow u=2 \end{array} \right. $
Lúc đó : $I_0=-\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{e^{-2}+1}\frac{du}{u}=-\frac{1}{2}\ln u|_2^{e^{-2}+1}=-\frac{1}{2}(\ln (e^{-2}+1)-\ln 2)     $
$\Rightarrow I_0=-\frac{1}{2}\ln \frac{e^{-2}+1}{2}=-\frac{1}{2}\ln \frac{e^2+1}{2e^2}=\ln {\sqrt{\frac{2e^2}{e^2+1} }}=1+\ln {\sqrt{\frac{2}{e^2+1} }} (ycbt)    $
b)$I_{n+1}+I_n=\int\limits_{0}^{1}\frac{e^{-2(n+1)x}+e^{-2nx}}{e^{2x}+1}dx=\int\limits_{0}^{1}\frac{e^{-2nx}(e^{-2x}+1)dx}{e^{2x}+1}=\int\limits_{0}^{1}\frac{e^{-2nx}(e^{-2x}+1)dx}{e^{2x}(e^{-2x}+1)} $
$=\int\limits_{0}^{1}e^{-2(n+1)x}dx=-\frac{1}{2(n+1)}e^{-2(n+1)x}|^1_0=-\frac{1}{2(n+1)}(e^{-2(n+1)}-1)   $
$=\frac{1}{2(n+1)}[\frac{e^{2(n+1)}-1}{e^{2(n+1)}} ]    (ycbt)$

Bài 113219

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 113219

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan