Bài 112971

Question

Tính tích phân : $I= \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}}dx $

score 0 · Answer 1

Xét : $\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}}dx= \int\limits_{0}^{1} |1-x^2|{\sqrt{1-x^2}}dx $
Để ý thấy : $1-x^2 >0 ; \forall x\in [0;1]$
Đặt : $t=\arcsin x \Rightarrow x=\sin t \Rightarrow dx=\cos tdt$
Đổi cận :
$x=1 \Rightarrow t= \frac{\pi}{2} $
$x=0 \Rightarrow t=0$
$\Rightarrow I= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } (1-\sin^2 t){\sqrt{1-\sin^2 t}}.\cos tdt =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \cos^3 t|\cos t|dt $
Lại thấy : $\cos t \geqslant 0 ;\forall x\in [0;\frac{\pi}{2} ]$
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \cos^4 tdt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }(\frac{1+\cos 2t}{2} )^2dt=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }(\cos^2 2t+2\cos 2t+1)dt $
$=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }(1+2\cos 2t+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 4t )dt $
$=\frac{1}{4}(\frac{3}{2}x+\sin 2t+\frac{1}{8}\sin 4t )|_{0}^{\frac{\pi}{4} }=\frac{3\pi}{16} (ycbt) $

Bài 112971

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112971

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan