Bài 112879

Question

Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng :
a) $ \mathop {\lim }\limits \frac{n}{n+2}=1$
b) $ \mathop {\lim }\limits \frac{n}{n^2+1}=0$
c) $ \mathop {\lim }\limits \frac{n^2+2n}{n^2+2n+2}=1$

score 0 · Answer 1

a) Với $\forall \epsilon >0,$ ta xét :
      $\left | \frac{n}{n+2}-1 \right | < \epsilon \Leftrightarrow \left | \frac{2}{n+2} \right |< \epsilon \Leftrightarrow \frac{2}{n+2} < \epsilon \Leftrightarrow n > \frac{2}{\epsilon }-2$
Chọn $ N = \left [ \frac{3}{\epsilon }-2 \right ]+1$, ta được :
      $\forall \epsilon > 0 , \exists N \in N^* : \left | \frac{n}{n+2}-1 \right | < \epsilon $ với $ n \in N \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits \frac{n}{n+2} = 1.$
b) Với $\forall \epsilon > 0$, ta xét :
      $\left | \frac{n}{n^2+1}-0 \right | = \frac{n}{n^2+1} < \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}< \epsilon \Leftrightarrow n > \frac{1}{\epsilon }.$
Chọn $ N = \left [ \frac{1}{\epsilon } \right ]+1$, ta được :
      $\forall \epsilon > 0 , \exists N \in N^*:\left | \frac{n}{n^2+1} \right |< \epsilon$ với $n >N \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits \frac{n}{n^2+1}=0$.
c) Với $\forall \epsilon > 0$, ta xét :
      $\left | \frac{n^2+2n}{n^2+2n+2}-1 \right |=\frac{2}{n^2+2n+2}<\frac{2}{n^2+2n+1}=\frac{2}{(n+1)^2}< \epsilon $
      $\Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{2}{\epsilon } }-1.$
Chọn $ N = \left [ \sqrt{\frac{2}{\epsilon } }-1 \right ]+1$, ta được :
      $\forall \epsilon >0, \exists N \in N^*:\left | \frac{n^2+2n}{n^2+2n+2}-1 \right |< \epsilon $, với $n >N \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits \frac{n^2+2n}{n^2+2n+2}=1.$

Bài 112879

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112879

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan