Bài 112837

Question

Chứng minh rằng với các số $m,n,p$ nguyên, dương sao cho $p \leq n$ và $p \leq m$ ta có :
$ C^p_{n+m} = C^0_nC^p_m+C^1_nC^{p-1}_m+...+C^{p-1}_nC^1_m+C^p_nC^0_m$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/23/2012 2:56:05 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Với mọi $x$ và với $m,n$ là số nguyên dương ta có: $(1+x)^{n+m}=(1+x)^n.(1+x)^m$     (1)
Mặt khác :
* $ (1+x)^{n+m} = \sum\limits_{p = 0}^{n + m}C^p_{n+m}x^p$      (2)
* $ (1+x)^n.(1+x)^m = \sum\limits_{k = 0}^{n}C^k_nx^k.\sum\limits_{k = 0}^{m}C^k_mx^k= \sum\limits_{p = 0}^{n+m}\left[ {(\sum\limits_{k = 0}^{p}C^k_n.C^{p-k}_m)x^p} \right]$            (3)
Do (1) nên các hệ số của $x^p; p = \overline{0,n+m}$ trong các khai triển (2) và (3) bằng nhau.
Vậy: $C^p_{n+m} = \sum\limits_{k = 0}^{p}C^k_n.C^{p-k}_m$        (đpcm)

Sửa 23-07-12 02:56 PM

hoàng anh thọ
15 1

175K 551K

Bài 112837

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112837

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan