Bài 112815

Question

Cho hàm số: $y=\begin{cases}x^2 với x\leqslant x_o\\ ax+b với x>x_o\end{cases}$

Tìm $a$ và $b$ để hàm số $f=f(x)$ liên tục và có đạo hàm tại điểm $x=x_o$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/23/2012 9:45:14 AM

Muốn hàm số liên tục tại điểm $x=x_o$ thì phải có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^{-}}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^{+}} f(x) =f(x_o)=x_o^2$ . $(1)$

Mặt khác theo cách hàm số đã cho ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^{+}}f(x) =ax_o+b$ . $(2)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^{-}}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^{-}}x^2=x_o^2 $ $(3)$

Từ $(1), (2), (3)$ ta có $ax_o+b=x_o^2$ $(4)$

Ta biết hàm số $f(x)$ muốn có đạo hàm tại điểm $x=x_o$ thì phải có $f'(x_o^{+})=f'(x_o^{-})$.

$f'(x_o^{+})=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{f(x_o+\Delta x)-f(x_o)}{\Delta x} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{a(x_o+\Delta x)-ax_o}{\Delta x}= a $ $(5)$

$f'(xo^{-})=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(x_o+\Delta x)-f(x_o)}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^{-}} \frac{(x_o+\Delta x)^2-x_o^2}{\Delta x}=2x_o $ $(6)$

Từ $(5)$ và $(6) \Rightarrow a=2x_o$
Thay vào $(4)$ ta có $b=-x_o^2$

Như vậy để hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại $x=x_o$ thì $a=2x_o$, $b=-x_o^2$.

Bài 112815

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112815

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan