Bài 112769

Question

Cho đường thẳng $\Delta: x-y+2=0$ và điểm $A(2;0)$
a) Chứng tỏ rằng hai điểm $A$ và gốc $O$ nằm cùng về một phía đối với đường thẳng $\Delta$. Tìm điểm $O'$ đối xứng của $O$ qua $\Delta$.
b) Tìm điểm $M$ trên $\Delta$ sao cho độ dài của đoạn gấp khúc $OMA$ ngắn nhất.

Thu Hằng · Answer 1 · 7/21/2012 8:18:02 AM

a) Thế tọa độ $A$ và $O$ vào vế trái của $\Delta$.
Ta có: $2-0+2=4>0;$

$0-0+2=2>0$
Vật $A$ và $O$ nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $\Delta$.
Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$ tại $H$.
Phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=-t \end{array} \right..$ Vì $H\in d$ nên $H(t;-t)$
Thế vào phương trình $\Delta$ thì được $t=-1\Rightarrow H(-1;1)\Rightarrow O'(-2;2)$ (vì $H$ là trung điểm của $OO'$)
b) Ta có độ dài đường gấp khúc $OMA$
$OM+MA=MO+MA=MO'+MA\leq O'A$ (không đổi)
Dấu đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $O'A$:
$x+2y-2=0$ với $\Delta$
Tọa độ của $M(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} x-y+2=0\\ x+2y-2=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-\frac{2}{3} \\ y=\frac{4}{3} \end{array} \right.$ Vậy $M(-\frac{2}{3};\frac{4}{3}).$

Bài 112769

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112769

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan