Bài 112735

Question

Tính tích phân : $I= \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x^n){\sqrt[n]{1+x^n}} } (n=1,2,...) $

score 0 · Answer 1

Đặt : $t= \frac{1}{{\sqrt[n]{1+x^n}} }>0 \Leftrightarrow x^n= \frac{1-t^n}{t^n} \Leftrightarrow \frac{x^n}{x}= \frac{1-t^n}{t^n} .{\left( {\frac{{{t^n}}}{{1 -t^n}}} \right)^{\frac{1}{n}}} $
$\Leftrightarrow x^{n-1}=\frac{(1-t^n)^{1-\frac{1}{n} }}{t^{n-1}} $
$\Rightarrow dt=- \frac{x^{n-1}dx}{(1+x^n){\sqrt[n]{1+x^n}} } \Rightarrow \frac{dx}{(1+x^n){\sqrt[n]{1+x^n}} }=-(1-t^n)^{\frac{1}{n} -1}.t^{n-1}dt $
Đổi cận :
$x=1 \Rightarrow t=\frac{1}{{\sqrt[n]{2}} } $
$x=0 \Rightarrow t=1$
Lúc đó :
$I=-\int\limits_{1}^{\frac{1}{{\sqrt[n]{2}} } }(1-t^n)^{\frac{1}{n} -1}.t^{n-1}dt =\frac{1}{n}\int\limits_{1}^{\frac{1}{{\sqrt[n]{2}} } }(1-t^n)^{\frac{1}{n} -1}d(1-t^n) $
$=\left[ {{{\left( {1 - {t^n}} \right)}^{\frac{1}{n}}}} \right]\left| \begin{array}{l}
\sqrt[n]{\frac{1}{2}}\\
1
\end{array} \right.=\frac{1}{\sqrt[n]{2}} (ycbt)$

Bài 112735

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112735

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan