Bài 112656

Question

Rút gọn các biểu thức sau :
a) $A = 2.1C^2_n - 3.2C^3_n+...+n(n-1)(-1)^nC^n_n$.
b) $B = 3.2C^0_n + 4.3C^1_n+5.4C^2_n+...+(n+3)(n+2)C^n_n.$

score 0 · Answer 1

a) Ta có :
      $ (1-x)^n = C^0_n-C^1_nx+C^2_nx^2-C^3_nx^3+...+(-1)^nC^n_nx^n$               (1)
Lây đạo hàm bậc hai theo $x$ cả hai về của (1) ta được :
      $ -n(1-x)^{n-1}= -C^1_n+2C^2_nx-3C^3_nx^2+...+n(-1)^nC^n_nx^{n-1}$
      $ n(n-1)(1-x)^{n-2}=2.1C^2_n-3.2C^3_nx+...+n(n-1)(-1)^nC^n_nx^{n-2}.$                (2)
Thay $x=1$ vào (2) ta được :
      $0= 2.1C^2_n -3,2C^3_n+...+n(n-1)(-1)^nC^n_n \Leftrightarrow A = 0.$
b) Ta có :
      $(1+x)^n=C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+...+C^{n-1}_nx^{n-1}+C^n_nx^n$
      $\Leftrightarrow x^3(1+x)^n=x^3C^0_n+C^1_nx^4+C^2_nx^5+...C^n_nx^{n+3}$   (3)
Lấy đạo hàm bậc hai theo $x$ cả hai vế của (3) ta được :
      $3x^2(1+x)^n+nx^3(1+x)^{n-1} = $
            $ = 3x^2C^0_n+4C^1_nx^3+5C^2_nx^4+...+(n+3)C^n_nx^{n+2}$
      $3.2x(1+x)^n+3nx^2(1+x)^{n-1}+n(n-1)x^3(1+x)^{n-2}=$
            $ = 3.2xC^0_n+4.3C^1_nx^2+5.4C^2_nx^3+...+(n+3)(n+2)C^n_nx^{n+1}$    (4)
Thay $x=1$ vào (4) ta được :
      $ 6.2^n+6n.2^{n-1}+n(n-1).2^{n-2}=3.2C^0_n+4.3C^1_n+5.4C^2_n+...+(n+3)(n+2)C^n_n$
      $\Leftrightarrow B = 6.2^n +6n.2^{n-1}+n(n-1).2^{n-2}$

Bài 112656

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112656

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan