Bài 112627

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy là hình vuông, và

$SB$ vuông góc với

$(ABCD)$ . Lấy điểm

$M$ trên

$SA (M\neq S, M\neq A)$ . Giả sử

$(BCM)\cap SD=N$ . Chứng minh rằng sáu điểm

$A,B,C,D,M,N$ không cùng nằm trên một mặt cầu.

score 0 · Answer 1

Do

$BC//AD\Rightarrow BC// (SAD)$

$\Rightarrow (MBC)\cap (SAD)=MN$ , trong đó

$N\in SD, MN//BC$ .
Do

$SB\bot (ABCD), AD\bot AB\Rightarrow SA\bot AD$ (

$AD$ là hình chiếu vuông góc của

$SD$ lên

$(ABCD)$ )(định lí ba đường vuông góc).

$\Rightarrow MNDA$ là hình thang vuông tại

$A$ và

$M$ .

Giả sử sáu điểm

$A,B,C,D,M,N$ cùng nằm trên một mặt cầu

$(S)$ . Như vậy mặt cầu

$(S)$ phải cắt mặt phẳng

$(SAD)$ theo một giao tuyến là đường tròn

$(C)$ .
Vì

$A,D,M,N$ vừa nằm trên

$(S),$ vừa nằm trên

$(SAD)\Rightarrow A,D,M,N$ phải nằm trên

$(C)$ . Nói khác đi

$AMND$ là tứ giác nội tiếp đường tròn

$(C)$ .
Đó là điều vô lí vì

$AMND$ là hình thang vuông thực sự

$(MN//AD; MN<AD)$ .
Vậy giả thiết phản chứng là sai, tức là

$6$ điểm

$A,B,C,D,M,N$ không cùng nằm trên một mặt cầu

$\Rightarrow$ đpcm.

1 Đáp án