Bài 112572

Question

Tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $a \cos A+b \cos B+c \cos C = \frac{ a+b+c}{ 2} (1)$
Tam giác ấy có đặc điểm gì.

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/19/2012 3:58:13 PM

Áp dụng định lý $\sin $ cho tam giác $ABC$ ta được:
$(1) \Leftrightarrow R(2 \sin A \cos A+2 \sin B \cos B+2 \sin C \cos C)=R(\sin A+\sin B+\sin C)$
          $\Leftrightarrow \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\sin A+\sin B+\sin C.$
Ta có $\sin 2A+\sin 2B=2 \sin (A+B) \cos (A-B)=2 \sin C \cos (A-B)$
Do với mọi tam giác $ABC$ thì :
         $0<\cos (A-B) \leq 1$ nên $\sin 2A + \sin 2B \leq 2 \sin C (2)$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B.$
Tương tự : $\sin 2A+\sin 2C \leq 2 \sin B (3).$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=C$
         $\sin 2B+\sin 2C \leq 2 \sin A (4). $ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $B=C$
Cộng vế với vế của $(2) , (3) , (4)$ ta được:
         $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C \leq \sin A + \sin B+\sin C (5).$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$
Từ $(1)$ và $(5)$ ta nhận thấy : $(1)$ chỉ đúng khi ở $(5)$ có dấu đẳng thức tức khi $\Delta ABC$ đều. Vậy $(1)$ đúng thì $\Delta ABC$ đều.
Vậy tam giác $ABC$ đều.

Bài 112572

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112572

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan