Bài 112555

Question

Tìm điểm

$A$ trên mặt cầu

$(S): x^2+y^2+z^2-2x+2z-2=0$ sao cho khoảng cách từ

$A$ đến mặt phẳng

$(P): 2x-2y+z+6=0$ là lớn nhất, nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

Đưa

$(S)$ về dạng:

$(x-1)^2+y^2+(z+1)^2=4$ .
Vậy

$(S)$ là mặt cầu tâm tại

$I(1;0;-1)$ và bán kính

$R=2$ .
Đường thẳng

$(d)$ qua

$I$ nhận vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n}=(2;-2;1)$ của

$(P)$ là vectơ chỉ phương nên có dạng:

$d: \begin{cases}x=1+2t \\ y=-2t \\ z=1+t \end{cases}$ .
Tìm giao điểm của

$d$ với mặt cầu

$(S)$ thông qua phương trình sau:

$(1+2t-1)^2+(-2t)^2+(1+t-1)^2=4\Leftrightarrow 9t^2=4\Leftrightarrow t=\pm \frac{2}{3}$ .
Khi

$t=\frac{2}{3}$ ta có giao điểm

$A(\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3})$ .
Khi

$t=\frac{-2}{3}$ ta có giao điểm

$B(\frac{-1}{3};\frac{4}{3};\frac{-5}{3})$

$d(A,(P))=\frac{13}{3}; d(B(P))=\frac{1}{3}$
Vậy

$A,B$ tương ứng là điểm trên mặt cầu

$(S)$ xa với gần

$(P)$ nhất.

1 Đáp án