Bài 112485

Question

Cho

$(P): y=x^2-2x+3$ và đường thẳng

$(D)$ là đường thẳng cùng phương với đường thẳng

$y=2x$ sao cho

$(D)$ cắt

$(P)$ tại hai điểm

$A, B$ .

a) Viết phương trình đường thẳng

$(D)$ khi hai tiếp tuyến tại tiếp điểm

$A, B$ của

$(P)$ vuông góc với nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng

$(D)$ khi

$AB=10$ .

score 0 · Answer 1

a) Vì

$(D) \parallel y=2x \Rightarrow$ Phương trình

$(D): 2x-y+m=0$
Phương trình hoành độ giao điểm của

$(D)$ và

$(P)$ là:

$x^2-2x+3=2x+m \Leftrightarrow x^2-4x+3-m=0 (1)$

$(D)$ cắt

$(P)$ tại hai điểm

$A, B \Leftrightarrow \Delta '=4-3+m=1+m > 0$

$\Leftrightarrow m>-1$
Ta có:

$(P): y=x^2-2x+3, f'(x)=y'=2x-2$
Vậy hệ số góc

$tt_A(P)$ là

$f'(x_A)=2x_A-2$
hệ số góc

$tt_B(P)$ là

$f'(x_B)=2x_B-2$
Ta có:

$f'(x_A).f'(x_B)=-1 \Leftrightarrow tt_A(P) \bot tt_B(P)$

$\Leftrightarrow 4(x_A-1)(x_B-1)=-1 \Leftrightarrow 4x_Ax_B-4(x_A+x_B)+4=-1 (2)$
Vì

$x_A, x_B$ là nghiệm của phương trình

$(1)$ nên

$x_A+x_B=4, x_A.x_B=3-m$
Thay vào

$(2)$ , ta có:

$4(3-m)-4.4+4=-1 \Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$
Phương trình đường thẳng

$(D)$ là

$y=2x+\frac{1}{4}$ .

b) Ta có:

$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$
Mà

$y_B=2x_B+m, y_A=2x_A+m \Rightarrow y_B-y_A=2(x_B-x_A)$
Vậy

$AB^2=5(x_B-x_A)^2=100 \Leftrightarrow (x_B-x_A)^2=20$

$\Leftrightarrow x_A^2+x_B^2+2x_Ax_B-4x_Ax_B=20$

$\Leftrightarrow (x_A+x_B)^2-4x_Ax_B=20$

$\Leftrightarrow 4^2-4(3-m)=20$

$\Leftrightarrow m=4$
Vậy phương trình

$(D): y=2x+4$ .

Bài 112485

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112485

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan