Bài 112485

Question

Cho $(P): y=x^2-2x+3$ và đường thẳng $(D)$ là đường thẳng cùng phương với đường thẳng $y=2x$ sao cho $(D)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A, B$.

a) Viết phương trình đường thẳng $(D)$ khi hai tiếp tuyến tại tiếp điểm $A, B$ của $(P)$ vuông góc với nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng $(D)$ khi $AB=10$.

score 0 · Answer 1

a) Vì $(D) \parallel y=2x   \Rightarrow $ Phương trình $(D): 2x-y+m=0$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(D)$ và $(P)$ là:
            $x^2-2x+3=2x+m \Leftrightarrow   x^2-4x+3-m=0                        (1)$
$(D)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A, B   \Leftrightarrow   \Delta '=4-3+m=1+m > 0$
                                                            $\Leftrightarrow   m>-1$
Ta có: $(P): y=x^2-2x+3,    f'(x)=y'=2x-2$
Vậy hệ số góc $tt_A(P)$ là   $f'(x_A)=2x_A-2$
        hệ số góc $tt_B(P)$ là $f'(x_B)=2x_B-2$
Ta có:      $f'(x_A).f'(x_B)=-1   \Leftrightarrow   tt_A(P) \bot tt_B(P)$
$\Leftrightarrow   4(x_A-1)(x_B-1)=-1   \Leftrightarrow   4x_Ax_B-4(x_A+x_B)+4=-1       (2)$
Vì $x_A, x_B$ là nghiệm của phương trình $(1)$ nên $x_A+x_B=4, x_A.x_B=3-m$
Thay vào $(2)$, ta có: $4(3-m)-4.4+4=-1 \Leftrightarrow   m=\frac{1}{4} $
Phương trình đường thẳng $(D)$ là $y=2x+\frac{1}{4} $.

b) Ta có: $AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$
Mà   $y_B=2x_B+m,    y_A=2x_A+m    \Rightarrow    y_B-y_A=2(x_B-x_A)$
Vậy           $AB^2=5(x_B-x_A)^2=100    \Leftrightarrow    (x_B-x_A)^2=20$
$\Leftrightarrow   x_A^2+x_B^2+2x_Ax_B-4x_Ax_B=20$
$\Leftrightarrow   (x_A+x_B)^2-4x_Ax_B=20$
$\Leftrightarrow   4^2-4(3-m)=20$
$\Leftrightarrow   m=4$
Vậy phương trình $(D): y=2x+4$.

Bài 112485

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112485

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan