Bài 112458

Question

1) Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c,d$ ta có:
$(ab+cd)^{2}\leq (a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})$ (BDT Bunhiacopski).
2) Áp dụng:
_Nếu $x^{2}+y^{2}=1$, chứng minh: $-\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}$.
_Nếu $x+2y=2$, chứng minh: $x^{2}+y^{2}\geq \frac{4}{5}$.

score 0 · Answer 1

1)
Ta có: $(ab+cd)^{2}\leq (a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})$
$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}+2abcd\leq a^{2}b^{2}+a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}-2abcd\geq 0$
$\Leftrightarrow (ad-bc)^{2}\geq 0$ đúng $\forall a;b;c;d$.
Đẳng thức xảy ra khi: $ad-bc=0\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

2)    Áp dụng:
a)
$(x+y)^{2}=(1.x+1.y)^{2}\leq (1^{2}+1^{2})(x^{2}+y^{2})=2$
Tức là: $(x+y)^{2}\leq 2 \Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq x+y\leq \sqrt{2}$
Dấu bằng min đạt được khi $\left\{ \begin{array}{l} x=y\\ x+y=-\sqrt2 \end{array} \right.\Rightarrow x=y=-\frac{\sqrt2}{2}$
max đat được khi  $\left\{ \begin{array}{l} x=y\\ x+y=\sqrt2 \end{array} \right.\Rightarrow x=y=\frac{\sqrt2}{2}$

b)
$4=(x+2y)^{2}=(1.x+2.y)^{2}\leq (1^{2}+2^{2})(x^{2}+y^{2})=5(x^{2}+y^{2})$
Tức là: $4\leq 5(x^{2}+y^{2}) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{4}{5}$.
Dấu bằng đạt được khi $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{y}{2}\\ x^2+y^2= \frac{4}{5}  \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{2}{5}\\ y=\frac{4}{5} \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} x=-\frac{2}{5}\\ y=-\frac{4}{5} \end{array} \right. $

Bài 112458

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112458

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan