Bài 112429

Question

Cho hàm số $y = \sqrt{\frac{1-x}{x} }, x \in (0;1) $
a) Tính diện tích hình phẳng $M$ giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho , trục hoành và đường thẳng $ x = \frac{1}{2} $
b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $M$ xung quanh trục hoành.
c) Chứng minh rằng $ x = \frac{1}{1+y^2}$ và từ câu a) suy ra giá trị của tích phân $ \int\limits_{0}^{1}\frac{dy}{1+y^2}.$

score 0 · Answer 1

a) Diện tích hình phẳng cần tìm : $ S = \int\limits_{\frac{1}{2} }^{1} \sqrt{\frac{1-x}{x} }dx$

Đặt $ x = \sin ^2 t \left ( t \in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ] \right ) $
Khi đó : $ dx = 2 \sin t \cos tdt$
Đổi cận :

Từ đây ta có :
$ S = \int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} } \frac{\cos t}{\sin t} . 2 \sin t \cos tdt = 2 \int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} } \cos ^2 tdt = \int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} } ( 1 + \cos 2t)dt$
   $ = \left ( t + \frac{\sin 2t}{2} \right )\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
\frac{\pi}{4}
\end{array} \right. = \frac{\pi}{2} - \left ( \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}   \right ) = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2} $ ( đvdt).
b) Thể tích cần tìm :
$ V = \pi \int\limits_{\frac{1}{2} }^{1}\frac{1-x}{x}dx = \pi \int\limits_{\frac{1}{2} }^{1}\left ( \frac{1}{x}-1 \right )dx = \pi (\ln x-x)\left| \begin{array}{l}
1\\
\frac{1}{2}
\end{array} \right. = \pi \left ( \ln 2 - \frac{1}{2} \right )$ (đvdt)
c) Ta có : $ y = \sqrt{\frac{1-x}{x} }   ( với x \in (0;1])$
$\Leftrightarrow y^2 = \frac{1-x}{x} ( với y \geq 0 )    \Leftrightarrow   x = \frac{1}{1+y^2}$
* Ta có : $\int\limits_{0}^{1} \frac{dy}{1+y^2} = S_N+S_M = \frac{1}{2} + \left ( \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}   \right ) = \frac{\pi}{4}.$

Bài 112429

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112429

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan