|
|
1. Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz. Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b.
Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x\,\,\,\,\,(a \leqslant x \leqslant b)$
Giả sử $S = S\left( x \right)$ là một hàm số liên tục. Người ta chứng minh được rằng thể tích V của B là
$V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} $ (1)
Ví dụ: Cho khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn thứ tự là ${S_0},{S_1}$. Khi đó thể tích V của nó là
$V = \frac{h}{3}({S_0} + \sqrt {{S_0}{S_1}} + S _1)$
Nhận xét: Khối chóp được coi là khối chóp cụt có ${S_0} = 0$. Vì vậy, thể tích V của khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là
$V = \frac{{Sh}}{3}$
2. Thể tích khối tròn xoay
-Một hình phẳng quay quanh 1 trục nào đó tạo nên 1 khối tròn xoay
- Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục, không âm trên $\left[ {a;b} \right]$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,\,\,\,x = b$ quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của nó được tính theo công thức
$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $ (2)
Ví dụ 2:
(Thể tích khối chỏm cầu). Cho một khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h. Chứng mịnh rằng thể tích V của khối chỏm cầu là
$V = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)$
Giải
Trong mặt Oxy, xét hình phẳng giới hạn bởi cung tròn tâm O bán kính R có phương trình $y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} $ , trục hoành và đường thẳng $x = R - h\,\,\,\,\,\,\,(0 < h \leqslant R)$. Quay hình phẳng đó quanh trục hoành ta thì được khối chỏm cầu bán kính R chiều cao h (hình 3.13 trang170)
Theo công thức (2) thể tích khối chỏm cầu là
$\begin{gathered}
V = \pi \int\limits_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx} = \pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)|_{R - h}^R \\
\,\,\,\,\, = \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}\left( {R - h} \right) + \frac{{{{\left( {R - h} \right)}^3}}}{3}} \right) = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) \\
\end{gathered} $
Nhận xét: Khối bán cầu R được coi là khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h = R. Vì vậy, thể tích của khối bán cầu bán kính R là
$V = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = \frac{{2\pi {R^3}}}{3}$
Do đó, thể tích hình cầu bán kính R là:
$V = \frac{{4\pi {R^3}}}{3}$
- Tương tự, cho đường cong có phương trình $x = g\left( y \right)$, trong đó g là hàm số liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {c;d} \right]$. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong $x = g\left( y \right)$, trục tung và hai đường thẳng $y = c,\,\,\,y = d$, quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay .Thể tích V của nó được tính theo công thức
$V = \pi \int\limits_c^d {{g^2}\left( y \right)dy} $ (3)
Thật vậy, từ công thức (2) bằng cách xem x là hàm của biến y ta suy ra công thức (3)
-Thể tích khối nón cụt: Cho khối nón cụt có chiều cao h, bán kính đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là R và r. Thể tích khối nón cụt đó là:
$V = \frac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2})$
|