Bài 112378

Question

Parabol $(P) : y^2 = 2x$ chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $(C) : x^2+y^2=8$. Tính diện tích mỗi phần.

score 0 · Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(C)$ là :
$ 8 - x^2 = 2 x \geq 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x^2 + 2x - 8 = 0 \\ x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x=2$
Do đó diện tích :
$S_1 = 2 \int\limits_{0}^{2} \sqrt{2x}dx + 2 \int\limits_{2}^{2\sqrt{2} } \sqrt{8 - x^2}dx$
* $ \int\limits_{0}^{2} \sqrt{2x}dx = \sqrt{2}\int\limits_{0}^{2}\sqrt{x}dx = \left ( \frac{2}{3}\sqrt{2}x^{\frac{3}{2}}    \right )\left| \begin{array}{l}
2\\
0
\end{array} \right. = \frac{8}{3}$
* Đặt : $ x = 2 \sqrt{2} \sin t \left ( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \right ) \Rightarrow dx = 2\sqrt{2}\cos tdt$
$ \Rightarrow \int\limits_{2}^{2\sqrt{2} } \sqrt{8 -x^2}dx = 8 \int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} }\cos ^2 tdt = 4 \int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} }(1 + \cos 2t)dt$
                      $ = 4 \left ( t + \frac{\sin 2t}{2} \right )\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi}{2} \\
\frac{\pi}{4}
\end{array} \right. = \pi -2$
$\Rightarrow S_1 = \frac{16}{3} + 2(\pi -2) = 2 \pi + \frac{4}{3}$   ( đvdt)
$\Rightarrow S_2 = \pi (2\sqrt{2})^2 - \left ( 2 \pi +\frac{4}{3} \right ) = 6 \pi - \frac{4}{3}$     (đvdt)
Vậy : $ \begin{cases}S_1 = 2 \pi + \frac{4}{3} (đvdt) \\ S_2 = 6 \pi - \frac{4}{3} (đvdt) \end{cases}.$

Bài 112378

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112378

1 Đáp án

Liên quan

Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng

Lý thuyết liên quan